Обобщенный алгоритм нахождения катакаустики оптической системы

Любчинов Евгений Владимирович старший преподаватель, кафедра "Инженерная геометрия и САПР", Омский Государственный Технический Университет 644050, Россия, Омская область, г. Омск, ул. Пр. Мира, 11, ауд. 8-518 Lyubchinov Evgenii Vladimirovich Senior Lecturer, Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11, aud. 8-518 Lubchinov.E.V@yandex.ru

Введение

В прикладных областях, где активно применяются оптические системы отражения и преломления, работающие по законам геометрической оптики, в процессе геометрического расчета используются фокальные кривые, называемые каустиками. Каустика представляет собой огибающую отраженных (или преломленных) лучей. По терминологии Бернулли каустики отраженных лучей называются катакаустиками ^[1]. Расчет каустик широко применяется в геометрической оптике при исследовании интенсивности светового поля ^[2,3], в астрономии для определения геометрии небольших темных объектов (эффект гравитационной линзы) ^[4]. Каустики находят широкое применение в исследованиях волновых фронтов, например, в изучении концентрации массы вещества во Вселенной ^[5]. Теория каустик напрямую связана с одним из разделов современной математики – теорией катастроф ^[6]. Каустики применяются при решении различных задач в акустики, сейсмологии, квантовой механике и др. областях ^[7]. С точки зрения геометрии катакаустика представляет собой эволюту волнового фронта, а множество линий, моделирующих волновой фронт, является по отношению к ней эвольвентами ^[17].

При исследовании катакаустик в оптических системах исходным источником света, как правило, является либо точечный (центральный) источник, либо бесконечно удаленный (параллельный) ^[8]. С развитием технологического прогресса во многих сферах промышленности, например, в лазерной техники, оптике или компьютерной графике, возникает задача поиска катакаустики, когда источник может быть криволинейной формы и пучок лучей от него является рассеянным ^[9]. Авторами работы предлагаются метод и алгоритм нахождения катакаустик для криволинейного источника и отражателя. В основу метода положено циклографическое отображение пространства R³ на плоскость. Метод циклографического отображения появился в конце девятнадцатого века ^[10]. Современные информационные системы и технологии позволили развить и применить этот метод для решения широкого спектра актуальных научно-технических задач ^[11-14].

Суть циклографического метода заключается в том, что он позволяет отображать точку пространства R³ на плоскость проекций z=0 в виде направленной окружности - цикла. Для пространственной кривой циклографической проекцией будет являться огибающая циклов, центры которых являются ортогональными проекциями точек на исходной пространственной кривой. В общем случае циклографическая проекция кривой линии представляет собой две ветви огибающей и обладает известным оптическим свойством ^[12,15]: если принять одну из ветвей огибающей за источник излучения, а другую за приемник, то лучи света, вышедшие по нормали от линии-источника, отразившись от ортогональной проекции пространственной кривой (отражателя), попадут на линию-приемник по нормали к ней. Таким образом, образуется триада элементов, выполняющих оптическое преобразование, при этом в большинстве случаев возникает задача поиска одного элемента по двум другим ^[16-18]. Метод циклографического отображения находит применение в решение ряда задач, существующих в геометрической оптике ^[12,17,18].

Постановка задачи

В существующих методах получения катакаустик источник рассматривается как точечный с центральным пучком лучей, либо как прямолинейный с параллельным пучком. В работе ставится задача получения обобщенного алгоритма нахождения катакаустики оптической системы при заданных источнике и отражателе, имеющих криволинейную форму. В основу предлагаемого алгорима положено циклографическое отображение пространства на плоскость, а также оптическое свойство циклографической проекции кривой линии.

Описание алгоритма нахождения катакаустики

Пусть на плоскости заданы источник и отражатель. Требуется найти катакаустику этой системы. В циклографической интерпретации задача сводится к получению эволюты приемника ^[17]. Для решения задачи каждому элементу системы на плоскости ставится в соответствие их пространственный циклографический образ. Например, центральному источнику излучения (точечному пучку лучей) ставится в соответствие проецирующий α-конус. Такой конус имеет полуугол при вершине равный α=45°. Параллельному пучку лучей, заданному на плоскости прямой линией, ставится в соответствие α-плоскость, наклоненная к плоскости проекций также под углом α=45°. Для рассеянного пучка, заданного некоторой кривой, строится α-поверхность. Способ формообразования этой поверхности заключается в следующем. Пусть задана кривая a₀ на плоскости, моделирующая источник излучения, в виде уравнений: . Для кривой a₀ находится ее эволюта b₀ по известным формулам ^[19]:

Затем по эволюте b₀ восстанавливается пространственная эволюта b, координата z каждой точки которой равна радиусу кривизны линии a₀. Формула для координаты z имеет следующий вид:

Таким образом, исходная кривая, моделирующая рассеянный пучок, и ее пространственная эволюта образуют α-поверхность, которая рассматривается как пространственный циклографический образ рассеянного пучка с носителем a₀:

Затем заданному криволинейному отражателю ставится в соответствие проецирующая цилиндрическая поверхность, и задача на первом этапе сводится к нахождению пространственной линии l пересечения данных поверхностей . Следующим шагом будет построение циклографической проекции ранее найденой линии пересечения l. Для этого воспользуемся известными в литературе формулами для циклографической проекции ^[11]:

Одна из построенных ветвей циклографической проекции , например линия , совпадет с источником, а другая, - линия , будет искомым приемником. Эволюта линии-приемника и будет искомой катакаустикой оптической системы. На рис. 1 представлен общий алгоритм нахождения катакаустики оптической системы.

Рис. 1. Алгоритм нахождения катакаустики оптической системы

Примеры работоспособности алгоритма

Пример 1. Найдем катакаустику системы, в которой источник излучения задан центральным (точечным) пучком лучей и имеет координаты A(-3;0), а отражатель представляет собой эллипс, расположенный в центре системы координат. Эллипс описывается уравнением:

где . Исходные данные системы «источник-отражатель» представлены на рис. 2.

Поставим исходным элементам в соответствие их циклографические образы. Циклографическим образом центрального пучка лучей является α-конус Ψ с произвольно выбранной координатой z его вершины (в примере она равна 5 ед.). Уравнение α-конуса Ψ имеет вид: .

По отражателю восстанавливается проецирующая цилиндрическая поверхность Φ и определяется линия пересечения l=ΨΦ (рис. 3). Затем, по формулам (3) строится циклографическая проекция линии l. Линия состоит из двух ветвей, для которых по формулам (1) строятся эволюты, которые и представляют собой искомую катакаустику оптической системы.

Рис. 2. Элементы системы: центральный источник (А) и эллиптический отражатель

Рис. 3. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-конуса

Рис. 4. Катакаустика оптической системы: точечный источник - эллиптический отражатель

Пример 2. В качестве более сложной задачи рассмотрим систему элементов (рис. 5 и 6), где источник излучения является рассеянным и его носителем служит кривая линия. В данном случае источник излучения задан сплайном Безье второй степени, состоящим из двух сегментов, а отражатель - параболой.

Последующие вычислительные операции соответствуют вышеприведенному алгоритму, представленному на рис.1. Сегментам сплайна, моделирующим источник излучения, ставятся в соответствие α-поверхности Ψ1 и Ψ2 соответственно, а отражателю – проецирующая цилиндрическая поверхность Φ. Затем находится линия пересечения l=( Ψ1Ψ2)Φ (рис. 5). По формулам (3) получаем циклографическую проекцию линии пересечения l. Одна из ветвей циклографической проекции полностью совпадает с исходной линией источника, а другая является мнимым приемником по причине особого расположения относительно отражателя (рис. 5). Эволюта линии мнимого приемника, полученная по уравнениям (1), и будет искомой катакаустикой. Итоговый результат представлен на рис. 6.

Проведение вычислительных экспериментов показало, что предложенный алгоритм универсален и позволяет решить ранее нерассматриваемые подобные задачи. Тем не менее, алгоритм требует вычислительных ресурсов большого объема в случае, когда исходными кривыми являются кривые высоких порядков. Для решения такой задачи, как правило, придется прибегнуть к численным методам расчета.

Рис. 5. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-поверхности

Рис. 6. Катакаустика в оптической системе с рассеянным источником излучения

Выводы и заключение

В работе показана возможность аналитического определения катакаустики в оптических системах на плоскости. Представлен алгоритм, который основан на методе циклографического отображения пространства. Преимуществом данного алгоритма является возможность определение катакаустики оптических систем с рассеянным источником, ранее не исследованных в научной литературе. Данный алгоритм может быть использован для исследования оптических систем в прикладных областях геометрической оптики.