Математические антиномии Канта – не антиномии. Решение проблемы

Жолков Сергей Юрьевич кандидат физико-математических наук профессор, Российский государственный университет нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина 119991, Россия, г. Москва, Ленинский проспект, 65 Zholkov Sergey PhD in Physics and Mathematics Professor, the Department of Applied Mathematics, Gubkin Russian State University of Oil and Gas (National Research University) 119991, Russia, Moscow, Leninsky Prospekt 65 sergei_jolkov@mail.ru Другие публикации этого автора

Математические антиномии Канта – не антиномии. Решение проблемы

Вообще, в высшей степени удивительно, что чем больше мы исследуем свои самые обычные и верные суждения, тем больше мы находим такого рода заблуждения, поскольку мы довольствуемся словами, ничуть не понимая сути дела.

И. Кант ^{[1, с.69]}

Определяя «верные пути» чистого разума и границы, ему положенные, И. Кант воздвигает «Трансцендентальную диалектику» основанием одному из своих принципиальных утверждений: «безусловное вообще нельзя мыслить без противоречий» ^{[2, с.20]}. В начале раздела «Антитетика чистого разума» (С.265) он формулирует 3 диалектических вопроса, которые считает «естественно возникающими перед чистым разумом»: 1. При каких же утверждениях чистый разум неизбежно впадает в антиномию? 2. От каких причин зависит эта антиномия? 3. Может ли разум, несмотря на это противоречие, найти путь к достоверности и каким образом?

Называя антитетику естественным феноменом человеческого разума (С.257), Кант опирается на антиномии, сформулированные и исследуемые им в Главе второй Книги второй. Таким образом, антиномии становятся «центральным пунктом трансцендентальной диалектики Канта», как справедливо утверждает И.С. Нарский ^{[3, с.156]} и пишет далее: «Кант рассматривает свои антиномии как неизбежные заблуждения человеческой мысли, для уврачевания которых, по Канту, следует вступить на дорогу, указываемую его, кантовским, дуализмом. Но вступить на нее ее заставляет именно осознание неискоренимости этих заблуждений, так что они, эти заблуждения, оказываются и в роли путеуказателей». Какие же пути они указывают?

При всем разнообразии отношений и оценок Кантовской философии, ее установок и выводов более поздними философами, они не оспаривают (по крайней мере, доказательно) опровержений Кантом, как тезисов, так и антитезисов в его антиномиях, и квалификаций получающихся противоречивых представлений как антиномий. Только высокого уровня основательность и доказательность, делающие возможным выстраивание анализа в форме строгой теории в понимании современной математики, позволяют категорично утверждать, что Кантовская квалификация безосновательна, а его рассуждения в "математических антиномиях" нельзя считать доказательством.

Обязательные требования к «правильным» содержательным теориям, которые стали понятны после фундаментальных достижений математической логики в XX в., оказываются принципиально важными при исследовании не только собственно математических проблем, но и вопросов философии и различных гуманитарных знаний. Это и есть те самые законы архитектоники истинных теорий, о которых догадался гений Канта, правда, полагая, что они существуют априорно.

1. Проблема. Рассмотрим первые две антиномии, поставив целью подвергнуть строгому анализу в полном объеме источники антиномий и проанализировать использованные Кантом средства или доказательно подтвердить, что все источники найдены им правильно и аргументация убедительна. Т.е. вопрос не столько в том, что утверждает Кант, но, прежде всего, почему.

В соответствии с поставленной задачей анализ антиномий ведется в терминах самого Канта и в контексте его собственной аргументации, разве что, на русском языке, но поскольку рассматриваемые проблемы никак не лингвистические, а в философском аспекте переводчик не исказил автора (это общее мнение), законность анализа русского текста неоспорима. Анализируется оригинальная работа Канта, каких-либо посторонних комментариев мы не касаемся.

Первые две антиномии (математические) формулируются Кантом так:

Полный авторский текст доказательств и комментариев: (С.268–73, 272–79). Отметим, что обоснование каждого тезиса обеих антиномий ведется от противного, т.е. опровержением отрицания тезиса, а не доказательством тезиса, что существенно, потому что исследуются инфинитные объекты. Сам Кант считает «своим долгом точно и с уверенностью определить границы чистого разума в его трансцендентальном применении» ^{[2, с.428]}, и для нас важнейшим компонентом последующего анализа будет исследование структуры обоснований Канта, которые он называет доказательством.

Проблемы, обсуждаемые Кантом в математических антиномиях, – проблемы философии, математики и физики. Такими их видит и он сам.

С точки зрения математики языки, исчисления, теория доказательств и содержательные строгие теории строятся индуктивно, от простого к сложному (а не индукционно, от частного к общему) ^{[4; 5]}. Поэтому особый интерес для нас представляет вторая антиномия.

С нее и начнем, проведя содержательный анализ, сколь основательны обоснования Канта.

2. Вторая антиномия, аргументация Канта. Предваряя тексты антиномий разделом "Система космологических идей" (С.256–64), Кант называет "простым" первоэлемент, не являющийся частью целокупности (впервые о простоте Кант заговаривает в контексте полемики с Лейбницем и "монадистами". Содержательнее и детальнее "простота" обсуждается им в приложении, в разделе "О паралогизмах чистого разума", где поясняется, что простое есть то, "чего никоим образом нельзя рассматривать как схождение многих действующих вещей". Поскольку затем он утверждает, что "душа или мыслящее Я" – пример такой сущности, то возможно говорить и о "простой субстанции" (что и делает Кант в примечании к антитезису а также в рассуждениях, касающихся души в разделе "О паралогизмах чистого разума"). Наблюдаемую "реальность в пространстве" Кант называет материей; совокупность всех феноменов (конечно, наблюдаемых) – миром (С.237); категория "мира", "расширенная до безусловного", т.е. не обусловленного феноменами и "эмпирическим созерцанием", становится "умопостигаемой (конечно, только мыслимой)" трансцендентальной (космологической (С.237, 258) идеей пространства.

Необходимо подчеркнуть, что приводимые пояснения нельзя называть определениями, поскольку они не выстроены как определения теории.

Теперь обратимся к аргументациям и сначала рассмотрим аргументацию в пользу антитезиса, поскольку И.С. Нарским ^{[3, с.160]} в согласии с Шопенгауэром декларируется ее бóльшая убедительность.

В обоснование первой части антитезиса Кант утверждает, что любая часть пространства сама является пространством, поэтому «простая первоначальная часть» (безусловно, в смысле первоэлемента в пространственном смысле, а не "первоначально" в причинном или временном смысле – antecedentia) будет сложной субстанцией, при этом полагая, что пространственная сложность – не форма (акциденция) любой части, в том числе первоэлемента, а ее сущностное свойство. Естественно, при этом неясно, что такое часть пространства.

Доказательства в первых двух антиномиях, называемых Кантом математическими (С.326), предваряются неразрывно связанными с ними рассуждениями в разделе «Система космологических идей», из которого ясно следует, что части пространства находятся во взаимосвязи лишь посредством общей границы (С.260), составляя однако «абсолютную целокупность». При этом, если в «доказательстве» Кант утверждает, что любое «деление» пространства дает снова сложную часть, подпространство, то материальная вещь («реальность в пространстве») допускает также иное, законченное деление, «отчего реальность материи или совершенно исчезает, или превращается в нечто такое, что уже не есть материя, а именно в [нечто] простое» (С.261, см. также С.323). С другой стороны, «простой объект» Кант понимает как «абсолютную простоту», никак не связанную с какими-либо материальными объектами (воистину, нет пределов кантовской мысли – если сложность, то безграничная, в «абсолютной целокупности», если простота, то абсолютная (С.275), настолько, что проще нет). А «безусловно простой» объект ненаблюдаем, и более того, несоотносим с возможным опытом вообще (С.275). Но недвусмысленно разделив пространство и материю, Кант в своих рассуждениях о простых и сложных вещах почему-то все время апеллирует к свойствам пространства.

Наличие далее пояснения к первой части антиномии, почти вдвое превосходящего доказательство, может означать только неудовлетворенность автора общими рассуждениями «доказующего» абзаца (даже при философском предварении), и он решает привлечь на помощь математику и физику (отметим, Кант и далее неоднократно возвращается к обсуждению проблем 2-й антиномии, явно стремясь укрепить доказательную базу). О каких же «очевиднейших математических доказательствах, способных проникнуть в свойства пространства» в пользу рассматриваемого тезиса говорит Кант? «математическая точка проста, но составляет лишь границу пространства, а не часть его» (см. также С.141); хотя, по мнению «монадистов», есть еще и «физические точки, которые, правда, также просты, но имеют то преимущество, что составляют части пространства», но это, по мнению Канта, является нелепостью, имеющей «многочисленные обычные и ясные опровержения». Этих несуществующих в современном понимании опровержений он не приводит, зато в соответствии со своей концепцией высказывает тонкую философскую мысль: материальные вещи – это только наблюдаемые феномены, а не трансцендентальные идеи (не сущности сами по себе), поэтому о физических точках (как и о «предметах всякого созерцания») нельзя говорить как об элементарной части пространства. И вообще, найденные «истины», касающиеся предметов опыта, недействительны в мире трансцендентальных идей.

Однако представление Канта о «физических точках» явно ошибочно: материальная точка не является наблюдаемым объектом («предметом эмпирического созерцания») – это такая же абстрактная ίδέα, как и геометрическая точка.

Но почему же "математическую точку" Кант считает лишь границей, а не частью пространства? Как раз на этот вопрос можно сразу дать ясный ответ. Третье из определений, открывающих первую книгу "Начал" Евклида, гласит: "Границы (концы) линий – точки" ^[6]. Но поскольку первое определение: "Точка есть то, что не имеет частей" (то есть абсолютно простейшая сущность в понимании Канта) без сомнения было ему известно как бывшему преподавателю геометрии (свое знание геометрических приемов он демонстрирует напр. на С.425), то единственным выходом для "философствующего разума" было считать, что точка не является частью пространства.

Не стоит видеть в этом ухищрение или уловку – это не путь для такого великого ума, как Кант. (К тому же он прямо заявляет в примечании к тезису первой антиномии, что не собирается использовать софистические приемы и строить «адвокатское доказательство» (С.270). Таковы были тогда и представления профессиональных геометров – понадобилось сто лет работы математиков, чтобы пришло понимание того, что пространство или пространственная фигура состоит из точек – даже в 70-е годы XIX в. Феликс Клейн писал о пространстве как «месте точек», но точку не рассматривал как фигуру. Что ж удивительного в представлении Канта, будто «пространство составляет условие возможности тел», а вещь и любая ее часть «занимают пространство», но «априорные определения пространства не касаются также всего того, что возможно лишь благодаря наполнению им пространства» ^{[2, с.277, см. также с. 34, 428]}. Даже в школьном курсе геометрии конца ХХ в. мы видим понятие «геометрического места точек», по-русски эти слова означают: фигура, часть плоскости – это геометрическое место для (расположения) точек.

Отвлекшись от пространственных свойств, обратимся к кантовским обоснованиям тезиса. Как справедливо указывает Кант, нечто, называемое им простой сущностью (частью), должно существовать отдельно от объединения простых сущностей в сложные. Но из этого он безосновательно делает вывод, будто «все вещи в мире» должны пребывать исключительно отдельно от указанного объединения, т.е. как простые сущности. Причем в ходе рассуждений он признает только крайние альтернативы: либо субстанции существуют только в связи с объединением, либо исключительно вне его (опять крайности! – «берегитесь крайностей, держитесь срединного пути», предостерегает Восток). Вдобавок и пространство в представлении Канта устроено весьма странно:

части его возможны только в целом, а не целое образуется посредством частей... Так как пространство не сложено из субстанций (и не состоит даже из реальных акциденций), то по устранении в нем всякого сложения ничего не должно остаться, даже и точки, так как точка возможна только как граница пространства (стало быть, граница сложного).

Разумеется, мы опять сталкиваемся с уже отмеченным представлением о точке только как границе пространства.

Итак, по Канту, все вещи в мире и сложны, и просты в той же степени, как нет ни простых, ни сложных вещей.

При анализе критических рассуждений Канта обращает на себя внимание обилие синкретичных в равной степени неясных понятий – здесь и сущности, и субстанции, и величины (на С.424 он относит к величинам «целокупность», «бесконечность», на С.141 он объявляет, что «все явления суть величины»; число на С.425 называет «величиной вообще»), и изменения, и границы, и соединение, и случайные отношения, и атомы, и сложение, и агрегация, и измерение пространства (С.260). И разумеется, кантовские конструкции не выстроены как теории: концепты (изначальные понятия) – основоположения – доказательства. В какой же степени вторую антиномию можно считать άντινομία – противоречием в законах, а сопутствующие рассуждения – доказательством?

3. Об архитектонике геометрии. Евклидова геометрия пространства строится так, как и подобает научной теории: минимальный круг изначальных понятий (объекты и отношения между ними), символика – логика предикатов в форме естественной речи – производные (вытекающие из начальных) отношения – аксиомы, включающие элементарные операции и новые простые объекты – новые, все более сложные объекты, и их свойства в виде выводимых логических формул (теорем). Проследим детальнее эту динамику на примере геометрии плоскости (планиметрии) по ^[7].

Изначальные понятия (§7). Концепты: точки (A, B,…), отрезки (a, b...), фигуры (F). Отношения: точка принадлежит отрезку (A `in` a), точка принадлежит отрезку (либо лежит внутри него, либо служит концом); равенство отрезков (a = b). Отношения и аксиомы, касающиеся фигур, удобно излагать отдельно, поскольку сначала принято строить геометрию отрезков и производных (прямолинейных) фигур. Производные отношения: 1) a`sub` b; 2) a`uu` b = c; 3) откладывание одного отрезка (b) от конца A другого отрезка (a) вдоль него (a); 4) пересечение отрезков по единственной точке.

Аксиоматика основная (§8): аксиомы о свойствах отрезков, аксиомы деления на две полуплоскости; определение угла и аксиома откладывания угла; аксиома параллельных отрезков.

Аксиомы фигуры и операции (§11). Отношения: точка принадлежит фигуре: A`in` F. Аксиомы: равенство фигур; любая точка – фигура; предикативное определение фигуры: F = {A: φ(A)} – фигура, если φ(A) – предикат с предметной областью – точки, например, точка A = {B: B = A}. Операции: объединение, пересечение. Резюме:

– точка – элементарная (простейшая) фигура, свойства точки определяются ее отношением к другим точкам или фигурам (геометрические фигуры можно считать «частями плоскости» в понимании Канта);

– отрезок, полуплоскость, угол и определяемые далее луч и прямая (§16) – самые простые прямолинейные фигуры;

– более сложные криволинейные геометрические фигуры определяются предикативно: круг (С.43), окружность, эллипс (С.42–43).

А далее планиметрия развивается так, как и положено научной теории: от простого к сложному, от простых «истин» к сложным. Изучаются свойства отрезков, прямых и лучей. Определяется треугольник и изучаются свойства треугольников и углов. Изучаются свойства параллельных отрезков и прямых. Изучаются свойства трапеции и прочих многоугольников, свойства элементов круга, теория измерений простых геометрических фигур и т.д. Затем анализируется сама аксиоматика и ее различные варианты. И никаких противоречий, ни в законах, ни в деталях не обнаруживается. То же самое можно сказать и о геометрии трехмерного пространства. Мы рассматриваем геометрию на плоскости только для простоты демонстраций.

Резюмируя, необходимо обратить внимание на принципиальный момент. В своде аксиом и постулатов, сформулированных евклидом, недоставало многих необходимых понятий и аксиом, частично потому что они казались самоочевидными, частично потому что не были осознаны ^{[7, с.256]}. Для того, чтобы евклидову геометрию можно было изложить как правильную теорию, они н е и з б е ж н о и н е о б х о д и м о должны были появиться в любой из возможных форм аксиоматики. То есть недостающие аксиомы, если угодно, существовали до исследований геометров, что в полной мере подтверждает всю гениальность замысла Канта: как интуитивного откровения – уверенности в существовании истин и правил логического вывода, находящихся за пределами известного опыта, так и попытки «доказать» положения выдвинутой им концепции.

При этом следует отметить, что все плоские фигуры элементарной геометрии: полуплоскости, углы, треугольники или иные многоугольники, круги или секторы (все без границ, столь пренебрегаемых Кантом) гомеоморфны плоскости (соответствующие трехмерные фигуры – пространству) и поэтому столь же "сложны" как и само пространство. Заметим вдобавок, точка действительно делит отрезок на два отрезка, а прямая на две полуплоскости, столь же сложные, как первоначальные отрезок и плоскость соответственно. Как раз об этом пишет автор в анализе антитезиса. Естественно предположить, именно геометрический опыт кантовского разума (по его терминологии – не опыт, а созерцание ^{[2, с.423–27]}, соответствовавший тогдашнему состоянию геометрии, явился основой трансцендентальных «философских понятий» о пространстве и последующего «философского познания» (С.423). Математикам понадобилось более ста лет исследований, прежде чем появился труд («Основания геометрии» Д.Гильберта, 1899 г. – рус. пер. 1948), строгим образом представивший геометрию как теорию (правда, в дальнейшем Гильберту пришлось уточнить свою аксиоматику). Впоследствии появились и другие варианты изложения основ геометрии [7. §61,46. Гл.6], но не в процессе долгого созерцания готовых «мыслительных сущностей», а в результате созидательного анализа и сравнения в поисках оптимальной формы изложения.

А проблемы геометрии в целом оказались настолько сложными, что потребовали многовековых исследований. Подводя итог, известный геометр м-м Жаклин Лелон-Ферран пишет: «с точностью до гомотетии существуют лишь две «метрические плоскости»: евклидова и гиперболическая – это итог 25 веков исследований, от Евклида до XIX в.» ^{[8, с.264]}.

Но кроме простых фигур элементарной геометрии, и трехмерное пространство, и плоскость, и прямая содержат подпространства (которые естественно считать частями пространства), чрезвычайно разнообразные по своим свойствам: и нульмерный во всех смыслах топологии и теории меры канторов совершенный дисконтинуум, и дисконтинуум Антуана ^{[9, с.138–43, с.216–21],[10, с.32]}, и кривые Серпинского, и аналитические множества, и причудливые вполне несовершенные пространства ^{[11, с.280–81, §39, §40]}, и проч., и проч. Так что, в пространстве и в мире есть и простые, и сложные части, но находятся они не в противоречии, а в многообразии.

При этом из возможности рассматривать точки отдельно от операции объединения не следует, что всякая вещь в мире (или часть пространства) проста; из того, что вещь занимает часть пространства не следует, что она обязана быть сложной; предмет опыта не обязан не быть "безусловно простым" из-за своих связей с другими объектами и проч., что уже обсуждалось. Поэтому вывод «следовательно» применяется Кантом безосновательно, так же, как сопутствующие им (выводам) рассуждения не являются доказательствами и мало что проясняют – да, они раскрывают и величие замысла автора, и глубину прозрений, но доказательствами не являются!

На самом деле, наличие геометрии и топологии как теорий пространства, свободных от противоречий, в рамках которых опровергаются утверждения Канта о свойствах пространства, достаточно для того, чтобы утверждать, что «вторая антиномия» антиномией не является. При этом вовсе не обязательно во всех деталях разбирать сопутствующие общие рассуждения: общие рассуждения, если вдуматься, очень уязвимы – одной непротиворечивой модели, в которой тезис или антитезис истинны (выводимы), иными словами, одного примера созерцающего разума достаточно, чтобы они рухнули.

Но нас в не меньшей степени, чем выводы, интересует структура рассуждений Канта и истоки недостоверности выводов. А причиной недостоверности его выводов была недостаточность средств рационалистического анализа структуры и свойств пространства. Геометрия и математика в целом, включая логику, при жизни Канта ни в коей мере не достигли уровня, достаточного для разрешения сложнейших проблем, поставленных Кантом во второй антиномии.

4. Первая антиномия. В еще большей степени это касается первой кантовской антиномии – представления о бесконечности были даже более неудовлетворительными, чем представления о пространстве; математических средств анализа бесконечного и «безграничного» во времена Канта было не больше, чем времена Паскаля, который в контексте метафизических рассуждений о Боге, справедливости и бесконечности фрагмента 233 своего труда "Мысли" (Pensées) откровенно признается: "Мы знаем, что бесконечность существует, но не ведаем, какова ее природа". Правда, это не мешает замечательному философу и ученому высказывать суждение о ее свойствах.

На самом деле, антиномия даже не сформулирована корректно, не определен и предмет обсуждения, идут к тому же подмены терминов, в равной степени непонятных: безграничность – бесконечность – «бесконечный ряд состояний» – «бесконечное целое и размер такого количества»... и соответственно, начало во времени – бесконечность как отсутствие начала – невозможность соотнесения всего мира и «ничто» – возникновение вещи из пустоты...

Бесконечность мыслится Кантом (многократно по тексту С.268–72) только как количество, соотнесенное с бесконечной суммой единиц, т.е. с количественным измерением целокупного натурального ряда. А поскольку среди натуральных чисел нет максимального и в те времена бесконечные кардиналы еще не были известны, великий философ ошибочно полагает, что «невозможна никакая бесконечная данная величина, стало быть, невозможен (если иметь в виду прошедший ряд и протяжение) и бесконечный мир» (С.270), и сразу безосновательно переходит к безграничности, заключая: «значит, мир ограничен во времени и пространстве». При этом необходимо отметить, что бесконечность пространства – другое понимание «бесконечности» автором «антиномий чистого разума», означает для него неограниченность вполне в современном смысле – как бесконечность диаметра множества: «мир пространственно не ограничен, т.е. он бесконечен, если иметь в виду протяжение» (С.269–71), см. также последний абзац примечания к антитезису (С.273). А ограниченность мыслится им только в связи со «сложностью» и «целокупностью» частей в синтезе целого, но не с «бесконечным» (см. С.268 и, в особенности, во 2-й антиномии).

В аргументации тезиса 1-й антиномии также выдвигается (кажущееся автору бесспорным) положение, будто бы завершение синтеза бесконечного процесса обязано длиться бесконечное время – эту идею он проводит твердо и последовательно. Это правильно сформулированный тезис, посему он требует обсуждения.

Это утверждение как утверждение математики на языке математики ошибочно. Все известные к тому времени суммы (бесконечных) числовых рядов (а сумму бесконечной геометрической прогрессии он несомненно знал) и пределы, разложения в степенные ряды элементарных функций (приближение рядами Ньютон считал наиболее сильным методом вычисления и изучения функций), формула Ньютона-Лейбница и т.п. – недвусмысленные примеры завершения инфинитных процедур числом или финитной формулой. Конечно, получение этих замечательных результатов заняло у авторов определенное время, но совсем не бесконечное. Собственно говоря, решение едва ли не каждой значительной задачи методами математического анализа – это определение числовых характеристик некоторого завершенного бесконечного процесса, т.е. актуальной бесконечности, почти запрещенной в классической философии. По тем же причинам это утверждение по отношению к инфинитным конструкциям физики как утверждение физики на языке физики или математической физики также ошибочно. Так что, этой (общепринятой) ошибки Кант мог избежать, внимательно проанализировав труды основоположников математического анализа.

Это утверждение как утверждение философии также неверно – в качестве опровергающих примеров обратимся к классическим апориям Зенона «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха». Ошибка вывода каждой апории заключалась в утверждении, что бесконечное число действий, рассматриваемых в апории (достижение последовательных середин), потребует бесконечного времени. Если в первой апории время до достижения телом середины отрезка обозначить через t, то в противоположность утверждению Зенона, суммарное время равно t + t/2 +... + t/(2ⁿ) +... = t / (1 - 1/2) = 2t, т.е. в «Дихотомии» тело достигнет конца отрезка за конечное время 2t. То же и для второй апории ^{[12, с.460]}. Возможно, поверхностный анализ этих апорий и был источником обсуждаемой ошибки.

Следует обратить внимание также на конструктивный аспект рассуждений Зенона и Канта. Процедуры достижения последовательных середин и соревнование Ахилла с черепахой нельзя назвать даже умозрительными («формально созерцательными»): перемещение тела в первой апории и Ахилла или черепахи – во второй шагом в миллиметры и т.д. невозможно «созерцать» даже чистым разумом – то, что оно не является «эмпирически созерцательным» (в терминах Канта: ^{[2, с.271]}), очевидно. Этот гипотетический процесс может быть назван только умопостигаемым (но не умозрительным, что существенно разные вещи) – это чистая гипотеза разума.

Аргументируя антитезис, Кант обращается к «другой бесконечности» – пространственной, а не количественной, применяет другие доводы и, естественно, получает другие выводы. Основы его доводов – отрицание существования пустого пространства и пустого времени: «эти две бессмыслицы – наличие пустого пространства вне мира и пустого времени до мира» ^{[2, с.273]} и невозможность сосуществования мира с пустым пространством или пустым временем. При этом автор «Критики чистого разума» тонко выводит и противоречие: «Чувственно воспринимаемый мир, если он ограничен, неизбежно находится в бесконечной пустоте. Если мы a priori устраняем ее и вместе с ней пространство вообще как условие возможности явлений, то вместе с этим упраздняется весь чувственно воспринимаемый мир».

И, разумеется, мы снова (как и во 2-й антиномии) сталкиваемся с представлениями Канта о пространстве как о «форме внешнего созерцания, а не действительном предмете, который можно было бы внешне созерцать, потому что само по себе оно не есть нечто действительное» ^{[2, с.271]}, как о форме для возможных предметов.

Необходимо подчеркнуть, согласно мнению Канта, пустое множество не принадлежит к числу возможных восприятий (С.271), и «если мир имеет границы (во времени и пространстве), то бесконечная пустота должна определять величину действительных вещей...», и нам остается едино только «вместо чувственно воспринимаемого мира представлять себе неизвестно какой умопостигаемый мир» (С.273). Но это чисто западная точка зрения на пустоту – восточные философские школы воспринимали пустоту (шунью) совершенно иначе. Так что, в данном случае можно говорить лишь об умопостигаемом Кантом мире.

Оставаясь в границах общих рассуждений, следует указать на множество вопросов, возникающих при анализе текста антиномии. О какой безграничности или бесконечности идет речь? Пространства натуральных или рациональных чисел, интервал (0,1), прямая, плоскость, открытый шар, трехмерное пространство, бесконечные кардиналы или ординалы – все они бесконечны, но по-разному! И о какой безначальности идет речь? Оба временных интервала – и (0,1), и (–∞,+∞) не имеют начала. и сколь корректно понятие «до начала мира»? – являясь правильно построенным словосочетанием естественного языка, оно может быть внутренне противоречивым подобно множеству всех множеств или известному брадобрею из парадокса Рассела. А может быть, время имеет более сложную, петлеобразную структуру? И почему до начала умопостигаемого мира был пустой мир, а не другой мир?

5. Пространство и время. Теперь обратимся к проблемам, рассмотренным Кантом, безотносительно его философских построений. Пространственно-временные свойства Вселенной наблюдаемы и измеряемы, поэтому структура пространства и времени – физическая проблема даже в большей степени, чем философская. К счастью, уровень современных физических знаний таков, что мы можем не только задавать вопросы о структуре пространственно-временного континуума, но и давать ответы, не оставаясь в границах общих рассуждений.

Наиболее основательной для утверждения о неизбежной антитетике безусловного и априорного представляется проблема, связанная с началом мира. Прежде всего, если мир бесконечен во времени, и не имеет начала, то как до настоящего времени могла пройти бесконечность, что означает завершение бесконечного процесса равномерно текущего времени. А, с другой стороны, если мир имел начало во времени, то что означает «время до начала мира», и что тогда происходило?

Источником этих вопросов является наследие мудрых эллинов, от которых мы получили представление о времени, как о линейном континууме, подобном числовой прямой. С этим связаны также наши представления об обязательном отношении любых двух моментов времени, один из которых предшествует другому, т.е. один из них – «до», а другой – обязательно «после». Однако теперь мы уже знаем, что не все события пространственно-временного континуума связаны отношением «до–после».

В современной физике пространственные координаты и время связаны воедино геометрией Минковского. Точки (элементы) этого пространства делятся на три класса: пространственноподобные, времениподобные, световые. На времениподобных интервалах наблюдения (элементы) будут последовательны в обычном смысле (одно будет предшествовать другому), а релятивистский временной интервал не будет зависеть от системы отсчета. Для пространственноподобных интервалов и величина, и знак разности временных координат могут меняться в зависимости от системы отсчета (четырехмерных координат). Про такие наблюдения (события) нельзя сказать, какое предшествует другому, они называются квазиодновременными. Физика пространственно-временного континуума изложена в монографии Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Теория поля», геометрия – Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.

Другая форма квазиодновременности или неупорядоченности очень малых временных интервалов – неинвариантность относительно систем отсчета одновременности событий: два события, одновременные в одной системе отсчета могут стать неодновременными в другой.

Еще одна неведомая Канту особенность времени – его относительность: в разных системах отсчета время течет по-разному. Это свойство обычно иллюстрируют общеизвестным "парадоксом близнецов". Абсолютного времени, в котором жил разум Канта, и его априорных пространства и времени, какими он их представлял, в реальности не существует – гипотеза их существования приводит к противоречию с физическими фактами.

В силу исключительной важности этих проблем рассмотрим их подробнее. В современной физике пространственные координаты и время связаны воедино геометрией Минковского: точками (элементами) этого пространства будут четверки чисел (x, y, z, ct), где с - скорость света. Таким образом, в этом четырехмерном пространстве первые три координаты определяют положение наблюдаемого объекта - точки в пространстве, а последняя координата - время наблюдения. Скалярное произведение и метрика (т.е. расстояние), связывающие воедино координаты (в физической интерпретации - пространство и время), определяются не совсем обычно и поэтому имеют приставку «псевдо»: если `xi` = (x, y, z, ct) и `xi` _* = (x_*, y_*, z_*, ct_*) - две произвольные точки пространства, то псевдоскалярное произведение (`xi`, `xi` _*)_rel в пространстве Минковского и релятивистской физике определяется равенством (`xi`, `xi` _*)_rel = xx_*+yy_*+zz_* - c²tt_* и соответственно квадрат псевдонормы [|| `xi` ||_rel]² = (`xi`, `xi`)_rel = x²+y²+z² - c²t². Таким образом, псевдонорма может оказаться мнимой или нулевой.

Метрические соотношения в пространстве Минковского имеют следующую физическую интерпретацию. Если два наблюдаемых в фиксированной системе отсчета точечных объекта имеют координаты `xi` ₀= (x₀, y₀, z₀, ct₀) и `xi`= (x, y, z, ct) соответственно, то квадрат пространственного расстояния между ними ||r||²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)², где r = (x-x₀, y-y₀, z-z₀), а интервал времени между ними равен t-t₀ . Можно также считать, что `xi` ₀ и `xi` - это пространственно-временные координаты одного наблюдаемого объекта в начальный момент наблюдения t₀ и в другой момент времени t. Cогласно современной физике, величина [|| `xi` - - `xi` ₀ ||_rel]² инвариантна в любой системе координат, т.е. не меняется при переходе к другой системе координат (в том числе, движущейся по отношению к исходной).

В зависимости от знака квадрата псевдонормы элементы пространства Минковского делятся на три класса: [|| `xi` ||_rel]² >0 - пространственноподобные, [|| `xi` ||_rel]² < 0 времениподобные, [|| `xi`||_rel]² = 0 - световые (они образуют коническую поверхность, называемую световым конусом). Считается, что времениподобные точки лежат внутри светового конуса, пространственноподобные – вне. Соответственно, траектория (называемая мировой линией) `xi`(t), t₀`<=` t `<=` t_*, называется пространственноподобной, если в каждой точке [||d `xi` /dt||_rel]² > 0 (т.е. в каждой ее точке касательный вектор пространственноподобен), времениподобной, если в каждой точке [||d `xi` /dt||_rel]² < 0 (т.е. в каждой ее точке касательный вектор времениподобен), или световой (изотропной), если [||d `xi` /dt||_rel]² = 0. Если точка движется прямолинейно, все касательные векторы принадлежат траектории, которая также целиком лежит в соответствующем классе. Согласно фундаментальному постулату теории относительности мировая линия любой массивной частицы (т.е. имеющей массу покоя m > 0) всегда является времениподобной, а мировая линия частицы, не имеющей массы покоя, – изотропной.

Если элемент `xi` - `xi` ₀ = (x-x₀, y-y₀, z-z₀, c(t-t₀)) времениподобен, то [|| `xi` - `xi` ₀||_rel]² = ||r||² - - c²(t - t₀)² < 0. Величина T, где T² = (t - t₀)² - (1/c²)||r||², называется абсолютным интервалом времени. С физической точки зрения время, которое затрачивает свет на прохождение расстояния ||r||, равно ||r||/c, времениподобность `xi` - `xi` ₀ эквивалентна |t - t₀| > (1/c)||r||, откуда t>t₀ или t₀> t, поэтому наблюдения `xi` и `xi` ₀ будут последовательны в обычном смысле (одно будет предшествовать другому) в любой системе отсчета.

Если `xi` - `xi` ₀ пространственноподобен, то ||r||² > c²( t - t₀)² т. е. расстояние r между событиями столь велико (или интервал t – t₀ столь мал), что | t - t₀|<(1/c)||r|| (-(1/c)||r|| < t - - t₀ < (1/c)||r||). C физической точки зрения это означает, что в пределах этих границ и величина, и знак разности t - t₀ могут меняться в зависимости от системы отсчета (четырехмерных координат). Про такие наблюдения (события) нельзя сказать, какое предшествует другому, они называются квазиодновременными.

Другая форма квазиодновременности или неупорядоченности очень малых временных интервалов – неинвариантность относительно систем отсчета одновременности событий: два события, одновременные в одной системе отсчета могут стать неодновременными в другой. В точных формулах: если относительно данной инерциальной системы другая движется по оси x со скоростью v, и новые координаты (x', t') определяются преобразованиями Лоренца, то в новых координатах временной интервал t' - t'₀ = [ (t - t₀) - (v/c²)(x - x₀)] / `sqrt(1-)` v²/c² .

Таким образом, и длина (пространственный интервал r), и длительность t - t₀ имеют относительный характер. В противоположность «здравому смыслу», так называемой интуиции и даже представлениям физики 17–19 вв. даже такие, казалось бы, неотъемлемые атрибуты материальных тел, как длина, форма и возраст (длительность), зависят от системы отсчета, но заметно это лишь для быстро движущихся систем отсчета. По отношению к быстро движущимся системам отсчета исследуемый процесс представляется замедленным, а длины – укороченными в направлении движения (лоренцево сокращение). Это вовсе не означает, что все зависит от «точки зрения» и нет ни инвариантных законов, ни истины – в духе сочинителей постмодернистского толка. Дело в ином: все сложнее, чем кажется непрофессионалу. Имманентными атрибутами тел и оказывается не то, что подсказывает интуиция и т.п. Кроме указанных выше, инвариантными являются также: закон распространения фронта световой волны (при отсутствии существенных изменений поля тяготения), уравнения Максвелла–Лоренца и уравнение движения заряженной материальной частицы (относительно преобразования Лоренца), скорость света (в вакууме)...

Следует подчеркнуть, изложенные свойства – не теоретические фантазии и не плод конвенций à la Пуанкаре. Экспериментальные факты, накопленные к началу XIX в., противоречили тогдашним механическим теориям тепла, эфира, электромагнитных явлений, механической модели атома (Томсона) и проч. Изучение движений быстрых электронов в электрических и магнитных полях привело к заключению, что классическая ньютоновская механика к ним не применима. Даже такой фундаментальный атрибут материальной частицы, как масса, оказался не постоянным, а переменным. На самом деле масса движущейся со скоростью v частицы M = m / `sqrt(1-)` v²/c², где m – масса покоя. Экспериментальные данные начала XX в.: опыт Майкельсона, наблюдения над двойными звездами (де Ситтер), фотоэлектрический эффект, распределение энергии теплового излучения по спектру и проч. стали основаниями и подтверждениями современных физических теорий. Многочисленные применения их выводов – лучшие подтверждения. Вся атомная энергетика основана на соотношении между массой и энергией, установленном теорией относительности: энергия покоя частицы E₀ = mc², энергия движущейся частицы E = Mc².

Все опыты, которые, как сначала казалось, противоречат теории относительности, затем получали объяснения в соответствии с ней. Так что, никаких противоречий в современных представлениях о времени и пространстве не обнаруживается, хотя, разумеется, не всё имеет удовлетворительный ответ и не все проблемы получают решения. Зато возникает множество различных концептуальных представлений.

Из нестационарной космологической модели А.А. Фридмана следует, что у наблюдаемой Вселенной (при условии постоянной скорости разбегания) была начальная точка – точка рождения, когда ее плотность была «бесконечной», а размеры ничтожными. Это был другой мир, в котором квантовые силы и эффекты доминировали над гравитационными. Согласно модели Фридмана и закона Хаббла, это происходило примерно 13.7–14 млрд. лет назад. Даже сейчас недостаточно физических данных, чтобы понять, что тогда происходило. Есть разные гипотезы. По гипотезе М.А. Маркова ^[13] начальная точка наблюдаемой нами Вселенной была заключительной в «прежнем цикле» ее жизни, которая представляет собой ряд циклов расширения и сжатия. Неопровергнутая гипотеза, полностью противоречащая представлениям Канта (зато согласующаяся с представлениями восточной философии), утверждает, что Вселенная самопроизвольно родилась из вакуума подобно тому, как рождаются элементарные частицы.

Убеждение кантовских времен, будто бесконечно протяженная в пространстве евклидова Вселенная – единственно возможное представление, согласующееся с законами физики, в настоящее время не считается верным; возможно, что Вселенная конечна, хотя и очень велика. Согласно еще одной гипотезе время дискретно с атомарным интервалом порядка 10^–43с. А согласно одной из гипотез А.Эддингтона, время может не быть одномерным.

Все это пока непроверяемо, но и прямых опровержений не имеет.

Решение проблемы. Анализы Канта, содержащиеся в «математических антиномиях», и якобы выведенные в них противоречия привели его и философию в целом к далеко идущим выводам. Считая, что ему удалось найти, когда чистый разум неизбежно впадает в антиномию, Кант в Предисловии к «Критике» и в разделе «Антитетика чистого разума» пишет:

при предположении, что приобретенное нашим опытом знание сообразуется с предметами как вещами самими по себе, оказывается, что безусловное [которое разум необходимо и вполне справедливо ищет в вещах самих по себе в дополнение ко всему обусловленному] вообще нельзя мыслить без противоречия, и, наоборот, при предположении, что не представления о вещах, как они нам даны, сообразуются с этими вещами как вещами самими по себе, а скорее эти предметы как явления сообразуются с тем, как мы их представляем, данное противоречие отпадает и, следовательно, безусловное должно находиться не в вещах, поскольку мы их знаем (поскольку они нам даны), а в вещах, поскольку мы их не знаем, [т.е.] как в вещах самих по себе (С.20)... Такое диалектическое учение [чистого разума] относится не к рассудочному единству в понятиях опыта, а к единству разума в одних лишь его идеях. Это единство, как синтез, подчиненный правилам, прежде всего должно согласоваться с рассудком, но в то же время, как абсолютное единство синтеза, оно должно согласоваться с разумом; поэтому если единство синтеза адекватно единству разума, то оно слишком значительно для рассудка, а если оно сообразуется с рассудком, то оно слишком ничтожно для разума; отсюда и должно возникать противоречие, которое нельзя устранить, что бы мы ни предпринимали (С.264).

Подчеркнем, Кант не пытается оправдать противоречие в рамках дедуктивной теории подобно Гегелю. Оправдание противоречия, начатое Гегелем в высокочтимом философами труде "Наука логики" ^[14] на стр.46 Кн.2 предложением "не нежничать с вещами" в требовании не допускать противоречий, продолжается в Примечании 2 "Положение об исключенном третьем", оправдывающем лжезакон противоречия A`^^``~|`A, который смешивается там с законом исключения третьего, и вполне последовательно завершается в Примечании 3 "Положение о противоречии" утверждением "все вещи сами по себе противоречивы". Там же на стр.66 он объявляет предрассудком и ошибкой утверждение, что не существует вещи, реализующей противоречивый предикат. Такое отношение к противоречию высказывается им многократно и в самых различных трудах.

Безнадежные попытки поклонников гегелевской "логики" "освятить" противоречия, прикрываясь мудрствованиями о "неформальной логике", продолжаются и по сей день. Вот что, к примеру, пишет даже "Новая философская энциклопедия" (НФЭ) в статье "Диалектика":

Но логика Гегеля – неформальная логика... Это логика рождения смысла как такового, при этом обеспечивая осознание принудительности перехода от неразрешимого внутреннего противоречия тезиса-антитезиса к их обоюдному снятию видением иного смысла в мыслимом предмете, способного удержать собой генезисное единство и тезиса, и антитезиса (Т.1, с.650).

Но если раньше противоречие освящалось магическим словом «диалектика», то теперь – магическим словом «релятивизм» в его ошибочном постмодернистском понимании. На самом деле триада в форме тезис – антитезис – синтез невозможна в рамках одной теории: любая противоречивая теория ложна, это непреложный факт. Из выводимости А и `~|`А следует выводимость формулы A`^^``~|` A, а из выводимости A`^^``~|` A - выводимость любого (переменного) высказывания, грубо говоря, любой чепухи. Таким образом, противоречивая теория ложна, в корне порочна – это доказанный математической логикой неоспоримый факт, которого не отменить никакими заклинаниями философствующего разума. Пытаться строить некую неформальную логику на отрицании закона непротиворечия `~|`(A```` `^^` `~|`A) – это все равно, что строить «неформальную физику», отрицающую общепризнанные физические законы.

В этой же статье НФЭ все с той же целью Канту приписывается установление "вечного закона" наличия противоречий в основаниях любой теории бытия:

После долгих взаимоопровержений эмпиристов и рационалистов, весьма продуктивных для обнаружения тупика механицизма, должен был прийти осознавший этот тупик И. Кант, чтобы своими тщательными исследовательскими преобразованиями «рабочих» априорных форм теоретического мышления – форм перцепции, рассудка и разума, с необходимостью вечного закона установить принципиальную неразрешимость противоречий в определениях начал и атрибутов бытия. (Т.1, с.649).

Здесь мысль Канта принципиально искажена. В приведенных выше цитатах (С.20, 264) великий философ недвусмысленно отрицает противоречия внутри эмпирической или трансцендентальной теорий самих по себе, на стр. 193 «Критики» он вновь подчеркивает: «Понятие ноумена, т.е. вещи, которую следует мыслить не как предмет чувств, а как вещь, существующую саму по себе (исключительно посредством чистого рассудка), не заключает в себе никакого противоречия». Противоречия возникают в синтезе этих принципиально различных, по мнению Канта, миров и определяются, пределами, положенными познающему разуму:

Но если я применяю эти понятия к предмету вообще (в трансцендентальном смысле), не определяя точнее, есть ли это предмет чувственного или интеллектуального созерцания, то при этом тотчас же обнаруживаются ограничения (нельзя выходить за пределы этого понятия), искажающие всякое эмпирическое применение понятий и тем самым доказывающее, что представление о предмете как вещи вообще не только не полно, но без чувственного определения представления и независимо от эмпирического условия содержит в себе противоречие, так что мы должны или отвлекаться от всякого предмета (в логике), или, если допускаем его, должны мыслить его при наличии чувственного созерцания; стало быть, [познание] умопостигаемого требовало бы совершенно особого способа созерцания, не присущего нам; и так как мы им не обладаем, то умопостигаемое для нас ничто, но ввиду этого и явления не могут быть предметами самими по себе ^{[2, с.207]}.

На одну из фундаментальных причин популярности указанного всепротиворечивого подхода следует обратить особое внимание – это постоянное смешение противоречий и противоположений, об опасности которого прозорливо предостерегал И. Кант в своей работе ^[1], где четко разделил противоречия и реальные противоположности (oppositio actualis), подобные отрицательным числам, противоположным силам или полюсам магнита и проч. Там же (С.77–78) он формулирует тезис о борьбе реальных противоположностей как основе движения материального мира: «в этом столкновении противоположных реальных оснований как раз и состоит совершенство мира вообще, равно как и закономерный ход материальной части его совершенно очевидно поддерживается только борьбой [этих] сил», впоследствии разработанный Гегелем. В «Критике» он вновь обращается к этой идее:

основоположение, гласящее, что реальности (как одни лишь утверждения) никогда логически не противоречат друг другу, есть совершенно истинное положение об отношении между понятиями... реальная противоположность встречается везде, где А – В = 0, т.е. где реальности, связанные в одном субъекте, уничтожают действия друг друга; таковы все на каждом шагу встречающиеся в природе действия и противодействия (203) ...сторонники Лейбница считали не только возможным, но и естественным объединять в одном существе всю реальность без каких-либо причиняющих беспокойство противоположностей, так как они знали только один вид противоположности – противоречие (посредством которого упраздняется понятие самой вещи), но не противоположность, приводящую к взаимному разрушению, когда одно реальное основание уничтожает следствия другого (С.204).

Совсем иной всепротиворечивый подход к противоположностям и противоречиям предлагает Г. Гегель. Подробнее о противоположениях и противоречиях в понимании Канта и Гегеля и следствиях для предметных теорий и практики см. ^[15].

Хотя догадка Канта о принципиальных различиях мира явлений и трансцендентального мира (как он определяется на С.73: "трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание, а только то, благодаря которому мы узнаем, что те или иные представления (созерцания или понятия) применяются и могут существовать исключительно a priori, а также, как это возможно") изумительна, учитывая тогдашний уровень математических знаний, она не столь велика, как ему казалось. Да, для бесконечных объектов не выполняются многие привычные (а потому кажущиеся нам естественными) свойства. К примеру: не верен евклидов постулат "целое всегда больше части" (который представляется Канту бесспорным ^{[2, с.40]}; если к бесконечному множеству добавить любое конечное число элементов, получившееся множество будет иметь ту же мощность; квадрат равномощен отрезку и проч. Но, тем не менее, инфинитные (а следовательно, не измеряемые и ненаблюдаемые) объекты и понятия составляют неотъемлемую часть математической физики, без инфинитных, сверх-явленных понятий нет даже моделей с непрерывным временем. Все это – предмет отдельного анализа. Но, что не менее важно, ни синтез эмпирического и идеального (трансцендентального) миров, ни теории идеальных объектов математики, физики и естествознания в целом, не обязаны приводить и не приводят (!) к противоречиям.

Возможность принципиально различных трансцендентальных представлений Кант счел основанием для трактовки трансцендентальной диалектики как антитетики. Иначе подошли к решению рассматриваемых проблем восточные философские школы. Ф.И. Щербатской пишет:

Древняя Индия была до знакомства с мусульманством страной широкой веротерпимости и совершенной свободы совести. Судьба религии решалась там главным образом успехом проповеди, никем не стесняемой. Борьба религий между собой выражалась в открытых, часто торжественных, философских диспутах... спор не ограничивался личностями; в нем принимали участие целые монастыри, которые вследствие неудачи могли исчезнуть вдруг после продолжительного существования. Как видно, право красноречия и логических доказательств было до такой степени неоспоримо в Индии, что никто не смел уклониться от вызова на спор» ^[16].

То есть, диалектику они понимали в «афинском ключе» – как столкновение противоположных концепций, разной убедительности, но в равной степени возможных. Более того, для индийских философов множественность истины представлялась самоочевидным фактом и никакой объективной и абсолютной истины они не признавали, см. напр. ^[17].

Подчеркнем, возможность альтернативных концепций, признавалась и Кантом, писавшим на стр.264 «Критики»:

Если мы употребляем свой разум не только для применения основоположений рассудка к предметам опыта, но и решаемся распространить эти основоположения за пределы опыта, то отсюда возникают умствующие положения, которые не могут надеяться на подтверждение опытом, но и не должны опасаться опровержения с его стороны; при этом каждое из них не только само по себе свободно от противоречий, но даже находит в природе разума условия своей необходимости; однако, к сожалению, и противоположное утверждение имеет на своей стороне столь же веские и необходимые основания.

Но при неоспоримости догмы о единственности истины оставался возможным только один выход: обе альтернативные концепции опровержимы. Как мы убедились, этот вывод неверен (по крайней мере, в отношении «математических антиномий»).

Для того, чтобы решить проблемы, поставленные Кантом, да, собственно, и самой теорией познания, необходимо понять, откуда берутся и как строятся содержательные теории, изложить и проанализировать законы архитектоники истинных теорий: критический анализ информации → выразительные средства теории → предметные (явленные) теории и идеальные (сверх-явленные) теории и их синтез; требования к теориям и их свойства → адекватность и интерпретация → категоричность и альтернативные теории.

Разумеется, это – предмет отдельного анализа.

Заключение. Выводы.

Все вышесказанное доказывает, что аргументы Канта логически неверны (и формально, и предметно), и тезисы, и антитезисы антиномичными не являются. Верное решение рассмотренных Кантом в математических антиномиях проблем – «антикантовское»: все наоборот, и тезисы, и антитезисы неопровержимы. Так что, проблема не в том, как разрешить эти «антиномии», а в том, что они антиномиями не являются. Зато и тезис, и антитезис сформулированы неточно, а аргументация в их поддержку не может считаться доказательством – вот это имеет место быть, так что, антитетика математических «антиномий» не в законах и не в «пределах, положенных разуму», а в представлениях и рассуждениях Канта.

Но много интереснее другое – в чем кроются заблуждения великого философа и каковы их истоки. Догадка Канта о возможности противоположных представлений о пространстве, времени и структуре вещей замечательна. Проблема имеет два решения. Первое, предложенное Кантом, – неизбежность противоречий разума, познающего трансцендентальный мир, и соответствующей трансцендентальной диалектики. Другое решение требовало немыслимого в те времена отказа от догмы о существовании единственной «абсолютной истины». (Но это – догма западной философии – как указывалось, для индийских философов, напротив, множественность истины представлялась самоочевидным фактом и никакой объективной и абсолютной истины они не признавали). Однако существование неразрешимых проблем и альтернативных теорий даже в математике ^{[12, (177, 183); 4.Ч.2.(Гл.I.§§5–6, Гл.III.§1); 18]}, при которых разум не вступает ни в какие противоречия, свидетельствует о том, что существо проблем не в неизбежных противоречиях разума или процесса познания, а в неединственности концептуальных представлений. Простейший пример – альтернативные геометрии: совместимость как аксиомы о параллельных, так и ее отрицания с аксиоматикой абсолютной геометрии – твердо установленный факт. И никакой внутренней противоречивости разума.

Cледует указать на открытые математикой факты, еще более неочевидные. Я имею в виду возможное наличие внутри теории тезисов или проблем (правильно сформулированных суждений или гипотез), которым нельзя дать истинностную оценку дозволенными (логическими) средствами. В точной формулировке: могут существовать замкнутые логические формулы теории, которые невыводимы из аксиом теории так же, как невыводимы и отрицания этих формул. Пример такой теории – теория арифметики Ar, описывающая, как то ни удивительно, самые простые из возможных объектов – натуральные числа. Самым известным примером такой (невыводимой) формулы является гёделева формула Сon, которая утверждает, что формальная арифметика Ar непротиворечива (подробно: [4.Ч.2.Гл.III]; ^[19.10]).

Причины этих общезначимых открытий – колоссальный прогресс в понимании законов построения строгих доказательных теорий. Это те самые законы архитектоники истинных теорий, находившиеся за пределами известных Канту опыта и созерцания, о которых догадался его гений, вопрошая: «как возможны синтетические суждения априори?».

И напротив, ненадлежащая степень совершенства выразительных средств, представлений о бесконечности, пространстве и времени и средств анализа, но главное, невыстроенность кантовского обоснования в форме строгой теории стали причиной его ошибок и заблуждений.

Увы, начав с искренней попытки подтвердить выводы Канта, мы пришли к противоположным выводам – но тут уж ничего не поделаешь. И все же самое важное – в другом. Математические антиномии Канта можно считать антитетикой: истинная антитетика антиномий Канта – противоречие великого ума и ничтожных средств (анализа). А одними умозрительными, общефилософскими рассуждениями сложнейшие проблемы, к которым обращается Кант, решить было невозможно даже при всей его гениальности. Оценивая механику Ньютона и классическую физику в целом, Эйнштейн писал, что выводы, к которым пришел Ньютон «при современном ему состоянии науки были единственно возможными». Думаю, то же следует сказать и о Канте.

Итак, из кантианского спора разума с самим собой как плодотворного процесса анализа и выбора не обязательно следует утверждение о противоречивости познания трансцендентального мира. Но для конца XVIII в. это утверждение можно считать естественным, удивительно в конце XX в. читать утверждение, что разум внутренне противоречив по своей природе, а самому процессу познания необходимо присущи противоречия ^{[3, с.157, 165]}. Конечно, такой разум способен породить только ложный «процесс познания».

А если говорить о пределах, положенных познающему разуму, то заключаются они, прежде всего, в законах, определяющих архитектонику истинных теорий. Законы архитектоники истинных теорий должны соблюдаться безотносительно предметной области применения, в противном случае это раз за разом приводит к ошибкам или неопределенности. Результаты, полученные в применении к проблемам реальной прагматики, исторического военно-политического анализа и социально политической философии в ^{[15; 20-22]}, свидетельствуют, что именно характерная для математики строгость и доказательность обеспечивает триаду "достаточные основания – достоверные рассуждения – обоснованные гипотезы", которая является необходимым средством "различения истины и видимости" (И.Кант ^[23]) и превращает знания в научные теории.