Экономическая коррупция в статической модели сочетания общих и частных интересов

Горбанева Ольга Ивановна доктор технических наук доцент, кафедра прикладной математики и программирования, Южный федеральный университет 344090, Россия, Ростовская область, г. Ростов-На-Дону, ул. Мильчакова, 8а, каб. 212 Gorbaneva Olga Ivanovna Doctor of Technical Science Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Programming, Southern Federal University 344090, Russia, Rostovskaya oblast', g. Rostov-Na-Donu, ul. Mil'chakova, 8a, kab. 212 gorbaneva@mail.ru Другие публикации этого автора

Работа поддержана грантом РФФИ №18-01-00053.

1. Введение.

Тема коррупции в иерархических системах управления, да и не только в них, достаточно щекотлива. С одной стороны, коррупция, несомненно, приносит урон обществу. С другой стороны, она позволяет перераспределить средства между участниками общественных отношений, которые изначально перераспределены не всегда справедливо (пропорционально труду и ответственности, возлагаемой на агента). В связи с этим, имеется немало неоднозначных работ по теме коррупции, в частности, административной.

Рыбасов, Угольницкий ^[2] впервые ввели классификацию административной и экономической коррупции, выделив среди каждой из них жесткую коррупцию (вымогательство) и мягкую (попустительство). В частности, под экономической коррупцией понимается повышение предоставления материальных благ или снижение расходов, в частности, налогов, в обмен на взятку.

Мальсагов, Усов, Угольницкий в ^[3] дали рекомендации по борьбе с экономической коррупцией, констатируя факт, что при экономической коррупции интересы агента не учитываются. Имеют значения только интересы супервайзера. Правда, отмечается, что большой урон обществу она не наносит.

В авторских же работах экономическая коррупция рассмотрена в трехуровневых моделях распределения ресурсов ^[4]. Рассмотрено два случая: бескорыстного центра и центра, имеющего частные интересы.

Данная статья посвящена исследованию экономической коррупции в иерархической системе СОЧИ-моделей, описанной ранее ^[1]. В систему между принципалом и агентом вводится элемент «супервайзер», который действует в интересах принципала, но может пойти на уступки агенту в обмен на взятку. Вводятся и описываются возможные экономические коррупционные механизмы действий супервайзера, при исследовании каждого из которых можно применить дескриптивный или оптимизационный подходы.

Дальнейшая структура работы следующая. Во втором параграфе построенная ранее в ^[2] иерархическая надстройка над СОЧИ-моделью дополняется и усложняется целевыми функциями и ограничениями супервайзера, вводится новая стратегия агента - взятка, описывается новая структура системы, вводятся понятие экономической коррупции. В третьем параграфе применяется дескриптивный подход к исследованию экономической коррупции, в четвертом параграфе описывается применение оптимизационного метода, а в пятом параграфе описывается влияние экономической коррупции на системную согласованность модели. В шестом параграфе приведены выводы и общие результаты исследования, в частности рекомендации по борьбе с экономической коррупцией.

2. Построение модели. СОЧИ-модель и экономическая коррупция в ней.

Описанные ранее в ^[1] модели сочетания общественных и частных интересов (СОЧИ-модели) следующий вид. Имеется n агентов, которые распределяют имеющиеся у них ресурсы r_i между общими интересами (в количестве u_i) и частными интересами (в количестве r_i − u_i). То есть задача агента:

(1)

Здесь c(u) - функция общего дохода; s_i - доля i-го агента в общем доходе; p_i(r_i − u_i) - функция частного интереса i-го агента, M = {1,...,n} - множество агентов. Функции p_i, c предполагаются непрерывно дифференцируемыми и вогнутыми по всем аргументам.

Интересами верхнего уровня - Принципала является максимизация утилитарной функции общественного благосостояния

(2)

В случае экономического механизма управления принципал назначает доли участия агентов в общем доходе s_i при естественных ограничениях 0≤s_i≤1, .

Принципал не пытается улучшить свое положение за счет введения коррупционных механизмов. Его целью является только максимизация функции общественного благосостояния. Но он делегирует свои функции управления среднему уровню – супервайзеру (см. рис.1), который в обмен на взятку от агентов может улучшать экономическое положение агентов. Соответственно, возникает экономическая коррупция как обратная связь экономического управления по величине взятки.

Рисунок 1. Трехуровневая иерархическая система управления

К анализу данного вида коррупции применены два подхода: дескриптивный и оптимизационный. В рамках дескриптивного подхода будем считать вид функции взяточничества известным, тогда для агента возникает задача оптимизации, а супервайзер подбирает оптимальные для себя параметры функции, на которые он может повлиять. В случае применения оптимизационного подхода находится оптимальная с точки зрения супервайзера функция взяточничества, что позволяет подобрать методы борьбы с экономической коррупцией.

Предположим, что в отсутствие коррупции общественный доход c(u) в модели (1) – (2) распределяется между верхним, средним и элементами нижнего уровня в соотношении t⁰, r⁰, , где . В обмен на взятку супервайзер увеличивает долю агентов в общественном доходе за счет принципала по следующей схеме

. (3)

для новых долей распределения общественного дохода (3) должно снова выполняться (n+2) условия , . Здесь δ_i- увеличение доли участия агента в общем доходе в обмен на долю b_i от нее.

Тогда СОЧИ-модель (1) – (2) с учетом экономической коррупции принимает вид

(4)

(5)

где g_S, g_i- целевые функции супервайзера и i-го агента соответственно.

3. Дескриптивный подход

Рассмотрим модель в общем виде, а именно, целевые функции агентов: , где функции p_i(x), c(x) - возрастающие вогнутые, удовлетворяющие свойствам p_i(0) = 0, c(0) = 0, а функции δ_i(x) возрастающие, удовлетворяющие свойству δ_i(0) = 0. Здесь управлениями агента являются величины u_i (количество ресурсов, направляемых агентом на реализацию частных интересов) и b_i (доля от прироста участия агента в общем доходе). В этом случае будем считать, что принципал уже назначил доли участия каждого агента в общем доходе s_i и дальнейшего участия в игре супервайзера и агента не участвует. Супервайзер же назначил функцию взяточничества δ_i(b_i), после чего исход игры теперь зависит только от принятия решения агентом.

Теорема 1. Оптимизационная задача агента (5) при условиях возрастающих непрерывных вогнутых функций p_i(x) и c(x) и возрастающей непрерывной дважды дифференцируемой функции δ_i(x), δ_i(0) = 0, δ_i(x)’’ ≤ 0 имеет единственное решение

,

где .

Доказательство. Условия первого порядка имеют вид:

,.

По виду функции g_i видно, что при любом 0 < b_i < 1 , а значит, оно лишь увеличивает функцию g_i по сравнению с g_i(0,0,u_i). Следовательно, полученная точка – (b_i^* ,u_i^∗) точка максимума.

Отсюда

где

Отметим, что условие (−δ_i(b_i) + (1 − b_i)δ_i’(b_i))⁻¹(0) < 0 не выполняется при условиях возрастания δ_i(x) и δ_i(0)=0, так как для этого должно выполняться условие −δ_i(b_i) + (1 − b_i)δ_i’(b_i) < 0.

С учетом δ_i(0) = 0 неравенство обращается в , что противоречит условию возрастания δ_i(x).

Найдем вторые производные:

Матрица Гессе в точке (b_i^* ,u_i^∗)отрицательно определена, следовательно, полученная точка – точка максимума. Это также свидетельствует о единственности решения.

Утверждение доказано.

Следствие 1. Механизм коррупции при распределении доли участия в общем доходе с заданной функцией взяточничества всегда выгоден агенту.

Имеется ввиду то, что, к сожалению, агенту невыгоден случай отсутствия взятки b_i = 0. Для борьбы с экономической коррупцией нужно ограничить возможности супервайзера по увеличению доли участия в общем доходе за счет принципала, т.е. величину t⁰ сделать как можно меньше.

4. Оптимизационный подход

Определим целевую функцию принципала как утилитарную функцию общественного благосостояния, которая определяется суммой целевых функций всех агентов.

(6)

При оптимизационном подходе функция δ_i(b_i) определяется как оптимальная гарантирующая стратегия (механизм управления) супервайзера в игре типа Γ₂ с агентами.

Применим оптимизационный подход при исследовании экономической коррупции. Рассмотрим модель (5) – (6). Условие системного согласования в этой модели имеет вид u^∗ = u^max, где u = (u₁,...,u_n), u^∗ - равновесие по Нэшу в игре агентов (5), g^P(u^max) = max_ug^P(u).

В этом случае принципал воздействует на целевую функцию агента, а именно, назначает величину s_i — долю общего дохода, идущую агенту.

Применим оптимизационный подход при исследовании экономической коррупции в СОЧИ-модели (4)–(6). Имеется n+2 участника модели: принципал с целевой функцией g^P(u) (6), супервайзер с целевой функцией g_S(b,δ,u) (4) и n агентов с целевыми функциями g_i(b_i,δ_i,u_i) (5). Управлениями агента по-прежнему являются величины u_i и b_i с ограничениями u_i ∈ ^[0,ri] и b_i ∈ ^[0,1]. Причем величина u_i является ответом на управление принципала s_i⁰ , которое удовлетворяет ограничениям , . Затем в игру принципала и агента вмешивается супервайзер, который предлагает агенту прибавку δ_i к величине s_i⁰ в обмен на «откат» от прибавки b_i. δ_i – это доля, поэтому 0 ≤ δ_i ≤ 1. Это «взаимодействие» агента с супервайзером может побудить агента увеличить свое значение u_i.

Итак, имеется иерархическая игра (n+2)-х лиц, определяемая следующими параметрами:

1. Задано множество участников – игроков N = {P,S,1,2,...,n}. Подмножества {P}, {S} и M = {1,2,...,n} определяют верхний (Принципал), средний (Супервайзер) и нижний (агенты) уровни иерархии. Принципал обладает правом первого хода, т.е. первым выбирает и сообщает агентам (игрокам с номерами i) свою стратегию. Супервайзер обладает правом второго хода, выбирая и сообщая агентам свою стратегию.

2. Пара <u_i,b_i> определяет управляющие параметры i-го игрока, которые могут выбираться из компактных множеств, u_i ∈ U_i =r^[0;ri], b_i ∈ ^[0,1], i ∈ M. Пусть , следовательно, <u_i,b_i>∈ U × ^[0,1]n.

Вектор определяет управляющие параметры Принципала из компактного множества .

Вектор функций δ = (δ₁,...,δ_n) определяет управляющие параметры Супервайзера, где δ_i : ^[0,1] → ^[0,1] – функции взяточничества, которые выбираются из пространства ∆i возрастающих функций, удовлетворяющих свойству δ_i(0)=0, т.е. .

3. На множестве U ×∆×K определены функции выигрыша агентов g_i (5), Супервайзера g_S (4) и Принципала g_P (6).

4. Для каждого игрока с номером i определены правила поведения, позволяющие игрокам P и S оценить множество рациональных ответов игроков с номерами i:

- стремление к максимизации функции выигрыша по своим выборам;

- стремление к достижению равновесной по Нэшу ситуации.

5. Имеющаяся игра является игрой с полной информацией за исключением того, что Принципал может не знать о целевой функции супервайзера.

Принципал может использовать или не использовать обратную связь с агентом по управлению. Вводятся следующие правила:

Правило 1. Супервайзер рассчитывает на информацию и будет ее иметь о выборе b_i ∈ B_i, i ∈ M.

Правило 2. Второй ход делает Супервайзер, выбирая и сообщая игрокам i ∈ M свою стратегию δ_i ∈ ∆_i.

Правило 3. Каждый агент, получив информацию o δ_i, старается максимизировать свою целевую функцию соответствующим выбором <u_i,b_i>∈ U_i × ^[0,1].

Правило 4. В сформулированных условиях Супервайзер максимизирует свой гарантированный результат.

Т.е. игры (5)–(6) и (4) - (5) рассматриваются отдельно, так как принципал с супервайзером напрямую не взаимодействуют.

Цель исследования модели (4) — (5) – оценить влияние супервайзера на равновесие в модели (5) – (6).

Алгоритм исследования модели следующий:

1. Решить задачу согласования интересов если не в сильной, то хотя бы в слабой форме, найти соответствующие величины u^∗, u^max и величины s_i⁰. Данное исследование проводилось в ^[1].

2. Найти равновесие в игре Γ₂ супервайзера и агента.

Теорема 2. В игре Γ₂ (4) – (5) при условии возрастающих вогнутых функций p_i(x), c(x) имеется единственный механизм управления, отвечающий интересам супервайзера:

,

где ,

.

Доказательство. Стратегия наказания (при наказании нет надбавки к доле общего дохода, тем самым супервайзер лишает агента возможность дать ему взятку и увеличить долю общего дохода), а множество (оптимальная реакция агента на стратегию наказания — поступить так, как побудил Принципал), где - выигрыш в случае применения супервайзером стратегии наказания равняется - оптимальный выигрыш агента при стратегии наказания,

– выигрыш супервайзера при нулевой взятке агента, причем от стратегии супервайзера ничего в данном случае не зависит.

при естественном ограничении

– максимальный доход супервайзера при условии, что выигрыш дохода агента больше, чем при стратегии наказания.

Из последнего неравенства найдем зависимость b от u:

и подставим эту величину в , получим задачу максимизацию по 2n переменным u_i и δ_i:

при условии .

Оптимизируемая функция возрастает по δ_i, поэтому каждое δ_i должно быть как можно больше, что говорит о том, что решение все-таки находится на границе области .

Отсюда,

где .

Докажем, что K₁≥ K₂. Для этого найдем их разность:

.

Так как ,

.

В силу произвольности и в силу того, что u∗∗ - максимума, то

Т.е. K₁≥ K₂. Причем равенство достигается или при t⁰ = 0 (т.е. делать надбавку супервайзер за счет принципала не может) или если все агенты являются индивидуалистами (агентом, который выделяет все доступные ему ресурсы только на частные цели), т.е. все u_i^∗ = 0.

Утверждение доказано.

Следствие 2. Единственная возможность бороться с коррупцией при распределении доли участия в общем доходе — уменьшить возможности супервайзера делать это за счет доли, приходящейся принципалу, то есть уменьшить по возможности величину t⁰ до нуля (либо, что то же самое, распределить доли участия в общем доходе таким образом, чтобы выполнялось условие).

Следствие 3. При .

Т.е. если надбавка доли участия в общем доходе не смогла заставить агента увеличить первоначальное значение , равное равновесию по Нэшу, то почти вся надбавка идет при этом супервайзеру.

5. Влияние механизма экономической коррупции и коррупции при распределении ресурсов на системную согласованность модели

Теорема 3. Механизм экономической коррупции может повысить согласованность СОЧИ-модели (5) – (6) к системному согласованию при выполнении для каждого агента: , и общего для всех агентов услови я, где t, r и s_i - доли участия в общем доходе принципала, супервайзера и агента соответственно.

Указанные условия являются необходимыми. Т.е. если они все три выполняются, это еще не значит, что модель является системно согласованной. Но если хоть одно условие нарушается, то модель точно не является согласованной.

Доказательство. Как было установлено в ^[1]:

где ,

где .

С учетом надбавки, предлагаемой супервайзером агенту в обмен на взятку,

где .

Заметим, что u_i > u_i^NE , что говорит о том, что теоретически она может оказаться и равной u_i^max. В случае u_i^max= 0 системная согласованность есть изначально и повлиять на нее супервайзер не сможет. В случае наличия Парето-оптимального решения внутри рассматриваемого отрезка должно выполниться условие

,

что может выполниться только при s_i+(1−b_i)δ_i = 1. Но эта ситуация возможна только, если сам принципал выделил весь общественный доход лишь одному агенту. Супервайзер в этом случае лишается возможности применить коррупционный механизм.

То есть супервайзер может изменить согласованность в системе только в случае, если u_i^max= r_i, который возможен при выполнении условия . В этом случае для системной согласованности выполняется , но , что соответствует тому, что без дачи взятки агенту не выгодно все ресурсы тратить на общие цели, а в случае дачи взятки становится выгодным. Рассмотрим эти три условия.

Условие полагает, что

. (7)

Условие предполагает, что

. (8)

Из условия следует, что

,

или с учетом (8)

.

Но условие ограниченности выполняется только, если или

, (9)

что и требовалось доказать.

Отметим, что теоретически повышение согласованности модели возможно. Но эмпирически вероятность одновременного выполнения всех условий (7) – (9) ничтожно мала, хотя условие (8) выполнить легче всего — назначить все s_i достаточно малыми числами, допустим s_i = 0, и тогда при достаточно большой надбавке к доле участия в общем доходе агенту становится выгодным давать взятку супервайзеру. Но вот достаточно большую надбавку супервайзеру обеспечить очень сложно, а чаще всего и невозможно.

Следствие 4. В случае степенной вогнутой функции частного дохода (отметим, что именно эта функцией чаще всего описываются экономические процессы)pi = pixα повышение значения функции общественного благосостояния за счет введения механизма экономической коррупции невозможно.

Доказательство очевидно ввиду того, что , а, следовательно, p_i’(0) = ∞, что делает невозможным выполнение условий заинтересованности принципала (7) и условия возможностей супервайзера (9).

6. Заключение

В модели сочетания общих и частных интересов исследован механизм экономической коррупции с применением двух подходов: дескриптивного и оптимизационного. Получены следующие выводы.

1. Дескриптивный подход к исследованию экономической коррупции в СОЧИ-модели показал, что оптимальная взятка определяется видом функции взяточничества, но никак не экономическим эффектом от реализации общих и честных интересов агентов. Экономическая коррупция с как с заданной, так и с синтезируемой функциями взяточничества всегда выгоден для агента. Бороться с экономической коррупцией можно только сокращением начальной доли Принципала, за счет которой коррупционная надбавка агенту и происходит. Если экономическая коррупция не может побудить агента изменить свою стратегию по выделению ресурсов на общие цели, то почти вся прибавка доли агента в общественном доходе идет в качестве взятки супервайзеру.

2. Экономическая коррупция может повысить системную согласованность в рассматриваемой модели, но это маловероятно, так как для этого нужно выполнение (2n+1)-го условия: условий , для всех агентов и общего для всей системы условия . Причем с увеличением n вероятность совместного выполнения всех условий снижается. Также доказано, что для наиболее часто применимой в экономике функции описания экономических процессов – вогнутых степенных - эти условия не выполняются.