Формирование у будущих экономистов и инженеров умения многосторонне оценивать деятельность в процессе обучения математике

Мельников Юрий Борисович кандидат физико-математических наук доцент, ФБГОУ "Уральский государственный экономический университет" доцент, ФГАОУ "Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н.Ельцина" 620144, Россия, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта, 62, ауд. 476 Melnikov Yurii Borisovich PhD in Physics and Mathematics Docent, the department of Applied Mathematics, Ural State University of Economics Docent, Institute of Radioelectronics and information Technologies, Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin 620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta Street 62, office #476 UriiMelnikov58@gmail.com Другие публикации этого автора     Боярский Михаил Дмитриевич кандидат педагогических наук доцент, ФГБОУ ВО "Уральский государственный экономический университет" 620144, Россия, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта, 62, ауд. 476 Boyarsky Mikhail Dmitrievich PhD in Pedagogy Docent, the department of Applied Mathematics, Ural State University of Economics 620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta Street 62, office #476 bmd63@rambler.ru Другие публикации этого автора

Локшин Михаил Давидович кандидат физико-математических наук доцент, ФГБОУ ВО "Уральский государственный экономический университет" 620144, Россия, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта, 62, ауд. 476 Lokshin Mikhail Davidovich PhD in Physics and Mathematics Docent, the department of Applied Mathematics, Ural State University of Economics 620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta Street 62, office #476 lok972008@yandex.ru Другие публикации этого автора

Введение

К настоящему моменту накоплен многовековой опыт организации математического образования. Как известно, многие традиции устаревают, что особенно актуально в эпоху стремительных перемен, когда новые устройства и технологии до неузнаваемости меняют стиль жизни, восприятие достижений и проблем, инструментарий не только физической, но и интеллектуальной деятельности. В практике естественнонаучного и математического образования одной из традиций является формирование одностороннего представления о рассматриваемом объекте. Этот подход пришел в образование из науки, где он является естественным и эффективным на определенном этапе научной деятельности. Но в системе образования он имеет и негативные черты, которые особенно сильно проявляются в настоящее время. В результате у обучаемых формируется привычка к одностороннему, «плоскому», восприятию рассматриваемых феноменов.

Во-первых, по мере накопления жизненного опыта человек обычно осознает ущербность такого представления. Например, с точки зрения экономики воробьи приносят вред, поедая урожай. Этот односторонний подход привел в Китае в 1958 году к попытке уничтожить всех «вредных» воробьев. Однако данное «мероприятие» привело к нарушению биоценоза в целом, в результате чего экономические потери оказались настолько катастрофическими, что воробьев Китаю пришлось импортировать. Таким образом, односторонний подход к анализу ситуации привел к результату, обратному планируемому.

Во-вторых, односторонний подход к анализу явлений приводит к ощущению «ущербности» науки, попыткам обрести ощущение гармонии с помощью оккультизма, фанатическому следованию догмам какой-либо религии, нигилизму и др.

В-третьих, в сочетании со свойственной юности горячности, максимализму, это приводит к «черно-белому» восприятию действительности, нежеланию или неспособности воспринимать феномены комплексно, рассматривать разные аспекты. Скажем, при обучении математике обычно упор делается на ее вычислительный аппарат и систему математических понятий. И математические понятия, и вычислительные процедуры весьма абстрактны, связь их с явлениями действительного мира является опосредованной. Математика никогда не описывает действительность непосредственным образом, она формализует другие модели: экономические, физические, технические, социальные и др. Поэтому у обучаемых формируется представление о математике как о науке абстрактной, «отрешенной от реальности», что верно лишь отчасти. В самом деле, история математики показывает, что развитие математики, как и других областей деятельности, во многом определяется потребностями общества, в первую очередь, экономическими, техническими и потребностями смежных наук, значительную роль играют культурные и другие потребности.

История эволюции математического знания позволяет обнаружить значительную корреляцию направлений математических исследований и общественных явлений ^{[1; 2]}. Исторически можно выделить ряд периодов даже на ранней стадии мировой цивилизации:

возникновение практических математических знаний (из потребностей жизнедеятельности: простейший подсчёт, распределение ресурсов, минимальные измерения, в основном относительные, т.е. больше-меньше и т.п., без общепринятых единиц измерения);

элементы теоретических математических знаний (появление единиц измерения, возникновение неименованных чисел);

оформление математической науки в Греции, Индии, Вавилоне, формирование начальных понятий о моделировании, адекватности, системности, разделение математической теории и ее применений на практике.

Смена этапов развития общества и связанного с ним математического образования сопровождаются изменением системы типовых целей математической деятельности и применения математики к решению задач экономики, техники, технологии и т.п. Проблемы целеполагания всегда были актуальны для математического образования ^{[3; 13]}. Эти вопросы актуальны и сейчас ^{[4; 14; 15]}. Указанные проблемы следует рассматривать в контексте особенностей российского образования в целом ^{[5; 16; 17]}.

При смене этапов изменяется не только система целей, но и характер математической деятельности. Развитие математики необходимо связано с изменением форм математической деятельности. В разные периоды наблюдались попытки отхода от указанного одностороннего подхода к изучению математики (например, ^{[6; 7]}. Потребность в этом налицо и сейчас.

Поэтому объектом нашего исследования является процесс обучения математике экономистов и инженеров. Предмет исследования ‑ формирование способности комплексно, многосторонне оценивать адекватность рассматриваемых феноменов в процессе обучения математике экономистов и инженеров. Целью нашего исследования является построение модели многостороннего оценивания математической деятельности (ее целей, способов деятельности, результатов) и деятельности по применению математики, как компонента образования экономистов и инженеров. Для достижения этой цели решаются следующие задачи исследования:

1) исследовать различные аспекты учебной математической деятельности как сложного многопланового феномена;

2) исследовать возможности математического образования в формировании многостороннего представления о рассматриваемых феноменах;

3) построить модель многостороннего оценивания адекватности математических феноменов.

Методология исследования включает в себя теорию моделирования (см., например, ^{[8; 9]}), компетентностный и деятельностный подходы.

Пример многокритериальной оценки адекватности решения задачи и деятельности обучаемого

Историю развития техники можно разделить на два этапа: этап автоматизации физического труда и этап автоматизации умственного труда. В настоящее время автоматизация умственного труда проявляется во внедрении информационных технологий. Поэтому в обучении математике постепенно на первый план выходит задача комплексной оценки адекватности результатов работы компьютерных сервисов и других компьютерных реализаций математических моделей. Актуальность обучения осуществлению многостороннего анализа имеет еще один аспект. Мы наблюдаем в разных странах использование некритического восприятия лозунгов, отсутствие многогранной оценки их содержания, в сочетании с естественным молодежным протестом для нарушения функционирования государственного управления вплоть до революции. Таким образом, обучение, ориентированное на одностороннюю «единственно верную» оценку феноменов приводит к возможности недобросовестного манипулирования людьми.

Следовательно, постепенно повышается актуальность обучения комплексной, многогранной оценке результатов деятельности, трактуемой нами как многогранная, многосторонняя оценка адекватности моделей. Этому удобно учить в курсе математики, где формализация является экстремально высокой.

Задача. Бросаются две одинаковые (неразличимые) монеты одновременно. Требуется построить математические модели и комплексно оценить их адекватность.

Рассмотрим несколько моделей. В первом варианте рассматривается пространство элементарных событий Ω₁={HH,TT,HT,TH} (первая буква в паре отождествляется с результатом на первой монете, а вторая – с результатом на второй монете) с равными вероятностями 1/4. Во втором варианте пространство элементарных событий состоит из трех элементов: 2H – на обеих монетах выпал «герб», 2T – на обеих монетах выпало «число», 2D – на одной монете выпало «число», а на другой – герб, в итоге получили пространство элементарных событий будет Ω₂={2H, 2T, 2D} с вероятностями 1/4, 1/4 и 1/2. В качестве третьего варианта пространства элементарных событий возьмем декартов квадрат пространства элементарных событий Ω₀={H,T}, т.е. Ω₃= Ω₀×Ω₀, где Ω₀ – математическая модель результата однократного подбрасывания одной монеты.

С математической точки зрения все три модели описывают эксперимент вполне адекватно. Для человека, начинающего изучать теорию вероятностей, первая модель, т.е. Ω₁, значительно проще и для построения, и для понимания. Во-первых, проще оценить ее адекватность «на уровне ощущений». Во-вторых, интуитивно очевидно, что события в составе Ω₁ равновозможны. Относительно Ω₂ отметим, что неравновозможность исходов не очевидна. Известно, что соответствующую ошибку совершил даже такой известный математик как Даламбер.

Предположение о равновозможности исходов в пространстве событий Ω₂ с дидактической точки зрения гораздо интереснее, чем «рафинированно-правильный» вариант с Ω₁. Мы даже готовы сформулировать утверждение, на первый взгляд кажущееся парадоксальным: «ошибка интереснее правильного решения». Результат анализа этих моделей разный. Предлагается проверить адекватность, причем метод проверки обучаемые должны выбрать самостоятельно. Например, проведением реального (или виртуального) эксперимента. Таким образом, в процессе решения этой задачи неверное решение приводит к формированию возможности формировать дополнительные компетенции: организация и управление контролем адекватности, интерпретация и переосмысление результатов контроля, поиск объяснений, вариантов корректировки. В данном примере представляет интерес вовлечение обучаемых в процесс комплексной оценки адекватности варианта с Ω₂, но с предположением о в 2 раза более высокой вероятности события 2D. Это сравнение моделей можно проводить по уровню сложности, громоздкости, естественности и др.

Рассмотрим четвертую ситуацию, когда в Ω₀ вместо H и T, основанных на сокращении слов «head» и «tail», использованы, соответственно, символы 1 и 0, т.е. Ω₀ заменяется пространством элементарных исходов Ω*={1, 0}. Ясно, что с математической точки зрения адекватность модели Ω₃ не изменится. Но с дидактической точки зрения вариант с Ω₀ не равноценен четвертому варианту, с пространством Ω*. Последний вариант отличается уровнем абстрагирования, поскольку интерфейс между исходной ситуацией (рассматриваемой как прототип) и ее математическим образом теперь не очевиден.

Для формирования у обучаемого способности к комплексной, многосторонней оценке феномена, важно сформировать привычку выделять разные аспекты у рассматриваемого объекта. Например, можно потребовать оценить текст задачи с литературной точки зрения, сравнить разные формулировки. Например, рассматриваемая формулировка задачи про подбрасывание двух монет состоит из двух предложений. Обозначим эту формулировку через А. Можно сравнить ее с формулировками из одного предложения. Пусть Б: «Для задачи об одновременном бросании двух одинаковых (неразличимых) монет построить математические модели и комплексно оценить их адекватность», и через В обозначим формулировку «Построить математические модели и комплексно оценить их адекватность для задачи об одновременном бросании двух одинаковых (неразличимых) монет». В формулировке Б сделан акцент на определенную реальную ситуацию, требование выглядит как некоторый ее «атрибут». В формулировке В наоборот, требование задачи вынесено вперед, оно представляется более приоритетным, чем в формулировке Б. Еще ярче эта разница видна при сравнении формулировок «вычислить интеграл…, используя замену переменной» и «используя замену переменной, вычислить интеграл». Можно в задаче про подбрасывание монет сравнивать формулировки по трудоемкости восприятия текста. По нашему опыту, формулировка А из двух предложений обычно воспринимается быстрее, чем формулировки Б и В, состоящие из одного предложения.

Рассмотрим четыре упомянутых выше вероятностных пространства Ω₁, Ω₂, Ω₃, Ω₄=Ω*×Ω* с позиции преподавателя, в рамках трех моделей обучения математике, предложенных М. Д. Боярским. Обучаемые дифференцируются на три группы в соответствии с ролью, которая математика будет играть в их будущей профессиональной деятельности: 1) математика для общего развития; 2) математика ради приложений; 3) математика ради самой математики.

1) В случае, когда для обучаемого собственно математическое содержание несущественно и целью изучения математики является общее развитие, достаточно ограничиться лишь моделью Ω₁, восприятие которой не потребует от него чрезмерных усилий. 2) Пусть математика рассматривается как инструмент деятельности. Тогда важно сформировать у обучаемых способность верной интерпретации утверждения в целом, даже в случае, когда не очевидна интерпретация отдельных символов и их комбинаций. Поэтому наиболее значимыми являются модели Ω₃ и Ω₄. В ситуации, когда представление вероятностного пространства в виде декартова произведения для обучаемых оказывается слишком трудным для восприятия, имеет смысл ограничиться моделями Ω₁ и Ω´₁, где последняя отличается от Ω₁ обозначениями элементов, допустим, 01 вместо TH. 3) Для будущих математиков целесообразно рассмотреть все перечисленные модели, поскольку для них важна сама возможность представления результата в разных формах.

Приведённые модели эксперимента с монетой позволяют организовать оценку учебной математической деятельности студента с позиции многосторонности. В самом деле, преподаватель изначально предлагает студентам найти несколько моделей вероятностного эксперимента, а не одну единственную. Нам представляется, что у исследователя и педагога, творчески относящегося к своей работе, должны возникнуть естественные вопросы, в частности: «как именно выделить оцениваемые аспекты и способы оценки адекватности», «как этому научиться самому» и «как этому научить обучаемого»?

Наш вариант постановки вопросов и ответов на них базируется на теории адекватности Ю. Б. Мельникова, основанной на формально-конструктивной трактовке модели. Важным компонентом теории моделирования является теория адекватности ^[8].

Формально-конструктивная трактовка модели

Традиционно под моделью понимается образ некоторого объекта (прототипа), причем требуется, чтобы этот образ достаточно адекватно описывал рассматриваемые аспекты прототипа. Однако термин «образ» неявно подразумевает наличие связей между элементами образа и соответствующими им элементами прототипа, но эта «неявность» является существенным недостатком. Например, говорят «данное уравнение является моделью такого-то процесса», хотя на самом деле моделью следует назвать не только уравнение, но и описание переменных, обоснование применимости соответствующих операций в левой и правой частях равенства, обоснование самого равенства и т.д. Кроме того, традиционные трактовки понятия «модель» не позволяют корректно определить операции на совокупности моделей. Например, пусть две модели, достаточно хорошо описывают разные аспекты прототипа. Но может оказаться что их комбинация не будет бы в чем-то «похожей» на прототип. Наконец, образ, похожий на прототип в одном смысле, т.е. являющийся его моделью, может быть совершенно непохож на него в другом смысле и в этом смысле он моделью не является. Чтобы избежать этих и других коллизий, в качестве одной из методологических основ нашей работы мы выбрали теорию моделирования Ю.Б. Мельникова, которая основана на формальной конструктивной интерпретации модели. Эта трактовка имеет три особенности. Во-первых, обычно понятие «модель» отождествляется с понятием «образ» некоторого объекта, прототипа. В нашей трактовке модель включает себя не только образ, но и систему обмена информацией между прототипом и образом, см. рис. 1. Поэтому мы под моделью понимаем систему из двух компонентов: модельно-содержательного (формализующего образ прототипа) и интерфейсного (формализующего систему обмена информацией). Во-вторых, мы фиксировали устройство модельно-содержательного компонента, состоящего из трех частей:

‑ носителя модели, т. е. совокупности элементов, из которых состоит прототип с точки зрения данной модели (состав элементов в рамках другой модели может быть совершенно другим);

‑ системы характеристик, т. е. функций, определенных на носителе модели (характеристики с числовым значением называются величинами, а характеристики с векторным значением ‑ векторными величинами);

‑ системы отношений на объединении носителя и множества характеристик.

В-третьих, в рассматриваемой трактовке понятия «модель» отсутствует требование «похожести» (в том или ином смысле) образа на прототип. Вопреки первому впечатлению это является не недостатком, а преимуществом, поскольку позволило разработать теорию адекватности ^[8], являющуюся важной составной частью теории моделирования.

Рис. 1. Иллюстрация формально-конструктивной интерпретации модели.

Теория моделирования, предложенная Ю. Б. Мельниковым, привела к корректировке и уточнению понятийного аппарата и появлению новых направлений исследований.

Понятие адекватности модели Основу теории адекватности составляет утверждение о том, что адекватность модели оценивается путем сравнения оцениваемой модели и некоторой модели, принятой за эталонную, см. рис. 2.

Рис. 2. Иллюстрация концепции адекватности модели.

Вопреки распространенному мнению эталонная модель почти никогда не совпадает с прототипом. Такое совпадение наблюдается, видимо, только в случае, когда прототип является абстрактным объектом например, математической теорией. Точное аксиоматическое определение характеристики адекватности в рамках данной статьи нам не понадобится, достаточно модели, представленной на рис. 2.

Важной особенностью применения теории адекватности является возможность в рамках одного вида деятельности (и нашего исследования, и учебной деятельности будущего инженера и экономиста) рассматривать не только разные модели некоторого прототипа, но и рассматривать для конкретной модели разные характеристики адекватности и разные эталонные модели. Это позволяет осуществлять многоаспектную, многогранную и многоплановую оценку адекватности модели и системы моделей. Например, пусть изучение комплексных чисел начинается определением: «Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где i² = –1». Если в качестве эталонной модели принять формальные требования к оформлению математических определений, то адекватность этого определения оказывается достаточно высокой. Но если эталонной моделью является понятие комплексного числа, которое должно быть сформировано студентом самостоятельно, оценка адекватности существенно изменяется. С одной стороны, данное определение сразу дает обучаемому основу для изучения теории комплексных чисел. С другой стороны, восприятие этого определения может вызвать у обучаемого определенные проблемы.

Во-первых, опыт, накопленный к данному моменту студентом, говорит о том, что вместо переменных можно подставлять числа или выражения (как правило, числовые, за исключением выражений, возникающих в векторной алгебре). Однако отсутствуют действительные числа, квадрат которых отрицателен, т.е. вместо переменной i нельзя подставить ни одно «привычное» число, что обычно приводит в замешательство. Во-вторых, от студента оказывается скрытым процесс формирования понятия «комплексное число», что не позволяет накапливать опыт деятельности по формализации информации. В-третьих, при таком характере изложения студент занимает пассивную позицию, выступает в роли приемника новых для него знаний. Такая позиция вполне устраивает сторонников точки зрения, что «инженеру достаточно уметь подставить в формулу». Эту позицию мы называем «интеллектуальной кастрацией» инженера. Тогда изучение математики не нужно совсем, подставлять надо в поля для ввода в соответствующей компьютерной программе. Как показывает опыт, если субъект не понимает смысла рассматриваемых выражений, то и попытка подстановки может оказаться неудачной. Но теория комплексных чисел позволяет при соответствующей организации процесса обучения вовлечь студента в процесс формирования теории. Это кажется «прекраснодушными мечтаниями». Но использование разработанного нами методологического аппарата, основанного на теории моделирования, а также применение ориентировочной основы действий в виде системы базовых исследовательских стратегий ^[8] (нами получены аналогичные результаты для проектной деятельности и рутинного моделирования ^{[10; 11]}), уже много лет позволяет без особых усилий вовлечь студентов в процесс создания научной теории (Мельников Ю. Б. Алгебра и теория чисел [режим доступа свободный], http://lib.usue.ru/resource/free/12/MelnikovAlgebra4/index.html, файл 00CompNumbTh.pdf).

Формирование системы оценок адекватности

Формирование системы характеристик адекватности обычно начинается либо с создания системы эталонных моделей с последующей разработкой и формализацией конкретных характеристик адекватности, либо с формирования характеристик адекватности с последующим выделением эталонных моделей.

I. Формирование оценок адекватности, начиная с эталонной модели

Рассмотрим формирование оценок адекватности на следующем примере. Предположим, поставлена цель – «найти треугольник» (с определенными свойствами). Как выяснилось, некоторые преподаватели называют эту цель «некорректной», что странно: геометрия занимается изучением геометрических фигур, поэтому задача «найти геометрическую фигуру» не может быть некорректной! На самом деле вопрос состоит в том, каков состав этой цели, т.е. какие эталонные модели входят в ее состав. Опишем пути формирования оценок адекватности.

I.1) Формализовать эталонную модель в соответствии с целью.

Естественной является следующая классификация множества эталонных моделей в составе цели:

I.1.1) форма представления; I.1.2) шаблон; I.1.3) конкретный образец.

Например, треугольник можно задать следующими способами (формы представления): I.1.1.1) указать длины трех сторон; I.1.1.2) двух сторон и угла между ними; I.1.1.3) стороны и прилежащих углов; I.1.1.4) описать положение вершин; I.1.1.5) описать стороны (не длин!) треугольника и/или его углы; I.1.1.6) представить пересечением или объединением фигур; I.1.1.7) представить сечением или гранью многогранника и др. Шаблоны и конкретные образцы получаются конкретизаций этих форм представления.

I.2) Выделить характеристику адекватности на вербальном уровне.

Значения могут быть не только числовыми, но и, например, вербальными: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».

Оценим адекватность отклонением длин от эталонных.

I.3) Формализовать алгоритмически характеристику адекватности.

Допустим получены значения длин сторон A≤B≤C. Приведем некоторые варианты оценок адекватности полученного треугольника относительно эталонной модели, представленной длинами a≤b≤c его сторон:

I.3.1) 𝜌₁((A,B,C),(𝑎,𝑏,𝑐)) = ((A−𝑎)²+(B−𝑏)²+(C−𝑐)²)^1/2;

I.3.2) 𝜌₂((A,B,C),(𝑎,𝑏,𝑐)) = |A−𝑎|+|B−𝑏|+|C−𝑐|;

I.3.3) 𝜌₃((A,B,C),(𝑎,𝑏,𝑐)) = max{|A−𝑎|,|B−𝑏|,|C−𝑐|};

I.3.4) 𝜌₄((A,B,C),(𝑎,𝑏,𝑐)) = max{{|A−𝑎|/𝑎,|B−𝑏|/𝑏,|C−𝑐|/𝑐} и т.д.

В ряде случаев целесообразно вводить некоторые весовые коэффициенты, которые, например, будут задавать приоритеты длин сторон (например, значение короткой стороны должно быть найдено с большей точностью).

II. Формирование оценок адекватности, начиная с характеристик

Рассмотрим типовой план на примере задания «оценить адекватность задания прямой уравнениями».

II.1) Выделить характеристику адекватности на вербальном уровне.

Можно оценивать:

II.1.1) затраты ресурсов на идентификацию прямой, например, совпадают ли прямые, заданные системами параметрических уравнений?

II.1.2) громоздкость задания, например, число знаков в формуле, число занимаемых строк, количество арифметических операций и др.

II.1.3) сложность интерфейса, например, число элементов, допускающих геометрическую интерпретацию, сложность интерпретации.

Скажем, в параметрических уравнениях (уравнение линии — это утверждение о координатах ее произвольной точки) из двух уравнений 𝑥 = 𝑎 + 𝑢𝑡, 𝑦 = 𝑏 + 𝑣𝑡 имеем (𝑥, 𝑦) — координаты произвольной точки прямой, (𝑎, 𝑏) — координаты фиксированной («начальной») точки прямой, (𝑢, 𝑣) — координаты направляющего вектора прямой.

Например, в общем уравнении прямой 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 интерпретация параметра 𝐶 требует вычислений: 𝐶/𝐴 равно абсциссе точки пересечения прямой с осью ординат.

II.1.4) затраты ресурсов на построение фигуры по уравнению. Например, если прямую строить по двум ее точкам, то для получения точек при задании прямой параметрическими уравнениями достаточно задать два значения параметра, а при задании общими уравнениями прямой в пространстве придется дважды решать систему линейных алгебраических уравнений второго порядка.

Например, в качестве характеристики адекватности возьмем пункт II.1.1 «затраты ресурсов на идентификацию прямой».

II.2) Формализовать алгоритмически характеристику адекватности.

Значения характеристики адекватности «затраты ресурсов на идентификацию прямой» могут быть не только числовыми, но и, например, цветовыми (как «оранжевый уровень угрозы» в системе гражданской обороны), поэтому характеристика адекватности не обязательно задается математической формулой.

Данную характеристику можно формализовать правилами:

— число операций для определения того, совпадает ли прямая с данной;

— математическое ожидание времени выполнения соответствующих выкладок;

— математическое ожидание времени, за которое обучаемые усваивают соответствующий алгоритм;

— математическое ожидание времени, за которое обучаемые самостоятельно создают соответствующий алгоритм (например, можно взять математическое ожидание времени выполнения соответствующих выкладок).

II.3) Выделить соответствующие эталонные модели.

Например, в качестве эталонной модели возьмем процесс получения ответа преподавателем. А оцениваемой моделью является процесс получения ответа обучаемым.

В качестве примера применения полученных результатов рассмотрим анализ функциональных зависимостей с помощью графиков, представленных соответствующими чертежами.

Во-первых, оценим адекватность представления функции с точки зрения точности представления. График функции f представляет собой множество точек с координатами (x, f(x)), т. е. эта линия не имеет ширины. Такую линию на чертеже было бы не видно, поэтому в реальности изображается так называемый эскиз графика. Таким образом, результатом выполнения пункта I.1 «формализовать эталонную модель в соответствии с целью» является эталонная модель в виде «линию нулевой толщины». Выполнение пункта I.2 «выделить характеристику адекватности на вербальном уровне» приводит, допустим, к формулировке «оценим адекватность чертежа толщиной линии». Реализация пункта I.3 «формализовать алгоритмически характеристику адекватности» связана с необходимостью удовлетворения противоречивых условий: с одной стороны, повышение точности связано с уменьшением толщины линий, с другой стороны, необходимость визуального восприятия линии требует, чтобы ее толщина не была чрезмерно малой. К этому можно добавить необходимость наблюдать линию на разных расстояниях от чертежа, необходимость учета возможные дефекты зрения, необходимость отслеживать возможные «мелкие колебания» графика. Кроме того, обычно фиксируется толщина линии, обозначенная на рис. 3 как b'₁=b''₁, но при этом «диапазон разброса» представления значения функции зависит от наклона линии к оси абсцисс, b'₂<b''₂ (расстояние от точки эталонной линии до верхней границы, измеряемое «по вертикали»). Точные варианты возможных оценок в данном случае мы приводить не будем.

Рис. 3. Иллюстрация к адекватности линии, представляющей график функции.

Во-вторых, точки зрения предметной области чертеж с графиком функции можно отнести к геометрии. Но в школьном курсе геометрии линия задается сведением ее частей к частям типовых линий: частям прямой (в том числе отрезкам и лучам), частям окружности (дугам окружности). Однако ясно, что такое описание линий очень ограничено, даже график синуса таким образом можно построить только «очень приближенно». Таким образом, исследованию средствами школьного курса геометрии поддаются, в основном, либо линейная зависимость (зависимость y=ax+b описывает прямую пропорциональную зависимость между величинами y и x+b/a, т. е. прямую пропорциональную зависимость «со смещением»), либо зависимости специального вида (график функции состоит из частей прямой и дуг окружности). Следовательно, в рассматриваемом случае построение характеристики адекватности начинается с эталонной модели, и результатом выполнения пункта I.1 «формализовать эталонную модель в соответствии с целью» является эталонная модель в виде «линии, составленной из фрагментов прямой и дуг окружностей». Выполнение пунктов I.2 «выделить характеристику адекватности на вербальном уровне» и I.3 «формализовать алгоритмически характеристику адекватности» приводит к различным оценкам «расстояний» между линиями, в частности, формализуемым с помощью норм линейных пространств C_n[a,b], l₂[a,b] и т. п., а также максимумом расстояний, изображенных на рис.3 как b'₁.

В-третьих, оценим адекватность представления функции графиком с точки зрения мотивации к обучению математике. Рассмотрим формирование мотивации к изучению аналитической геометрии. Если для будущих инженеров в большинстве случаев необходимость изучения аналитической геометрии обычно вопросов не вызывает, то для будущих экономистов, финансистов и т. п. необходимость изучения этого раздела математики неочевидна. В качестве оцениваемой модели выступает методика обучения и ее компоненты: учебно-методическое обеспечение, качество работы преподавателя, отбор и вариант организации содержания раздела учебного курса и т. д.

Примером может быть организация обучения, основанная на схеме, описанной в пункте «во-вторых». В этом случае изучение аналитической геометрии обосновывается необходимостью «цифровизации геометрии». Цифровизация позволяет создать аналитический аппарат для построения и анализа линий, семейств линий и других геометрических объектов (геометрических фигур, отношений между ними, геометрических величин). Кроме того, цифровизация позволяет представлять взаимозависимости величин в виде графических изображений (графиков, номограмм).

Мы оцениваем модель (например, как мы отметили выше, методику обучения и ее компоненты) с точки зрения формирования мотивации к обучению. Поэтому в данном случае построение модели адекватности начинается с построения соответствующих характеристик. Выполнение первого пункта II.1 «выделить характеристику адекватности на вербальном уровне» приводит к различным оценкам уровня мотивации к изучению аналитической геометрии, например, результаты анкетирования, процент посещаемости учебных занятий, результаты мониторинга самостоятельной работы и др. Результатом выполнения пункта II.2 «формализовать алгоритмически характеристику адекватности» будут разработки вопросов для анкет, инструкции по анкетированию обучаемых, инструкции по учету посещаемости и мониторингу самостоятельной работы с обязательным описание процедуры получения оцениваемых параметров. Наконец, реализация пункта II.3 «выделить соответствующие эталонные модели» приводит к формированию эталонных моделей в виде максимально возможных значений оцениваемых параметров, эталонных законов распределения соответствующих случайных величин и т. д.

В-четвертых, далеко не всегда графики отражают зависимость непосредственным образом. Например, на рис. 4 изображены графики функций x=α(t) (рис. 4а) и y=β(t) (рис. 4б). На самом деле величины x и y находятся в прямой пропорциональной зависимости (рис. 4в), что непросто понять из графиков функций α и β. Таким образом, в данном случае визуальная модель, представленная на рис. 4а,б, менее наглядна, чем модель, представленная формулами x=t²/2 и y=−t²/2, поскольку в это случае получение прямой пропорциональной зависимости y=−x (с учетом неотрицательности значений x), т. е. преобразование модели, представленной формулами, потребовало меньшего объема ресурсов, чем проведение аналогичного преобразования средствами более «визуальной» модели в виде графиков функций.

Рис. 4. Пример графика функции, заданной параметрически

Многосторонняя оценка деятельности студента преподавателем как одно из направлений формирования умения всесторонне оценивать адекватность моделей

Как известно, математику можно рассматривать как эффективный инструмент формирования «интеллектуальной честности», требования к строгости рассуждений в математике, пожалуй, являются непревзойденными. Это остается верным, несмотря на обнаруженные неустранимые проблемы с обоснованием ее основ. Поэтому традиционно в обучении математике ценится обоснованность утверждений, точность выкладок и их результатов. Естественно снижать оценку за допущенные обучаемым ошибки в вычислениях, особенно если цель обучения формулируется в стиле «результатом обучения решению задач из задачника является умение решать задачи из задачника». Однако, если рассматривать отметку, полученную обучаемым, как оценку адекватности модели этого обучаемого (представленную, например, решением контрольной работы), ситуация не выглядит однозначной. Эталонная модель обучаемого в этом случае представляет собой набор требований к подготовке обучаемого, например, к объему и качеству его знаний и умений, в наше время принято говорить об уровне сформированности компетенций. Однако с развитием информационных технологий способность к безошибочному проведению вычислений уже не является безусловным приоритетом, на первый план выходит способность комплексно оценивать результаты деятельности и саму деятельность. Например, надо ли снижать оценку за вычислительную ошибку или некорректное применение теоремы в случае, когда обучаемый самостоятельно обнаружил неадекватность результата? Большинство преподавателей согласится, что в случае, когда на исправление ошибки просто не хватило времени, достаточно ограничиться осуждающим покачиванием головы, тяжелым вздохом и задумчивым «ну, так уж быть...».

Как изменится оценка, если обучаемый не в состоянии локализовать ошибку или так не смог самостоятельно ее исправить? Ясно, что в любом случае следует организовать работу по устранению соответствующего пробела в его знаниях. Но если в качестве эталонной модели выбрать систему компетенций в области контроля собственной деятельности, коммуникативных умений и т. д., то оценка деятельности обучаемого может существенно измениться, хотя это не обязательно должно отразиться в отметке за данную контрольную работу. Сегодня, как правило, в процессе обучения математике нет формализованного способа оценить готовность предпринять решительные действия, хотя и чреватые ошибкой, инициативность, готовность взять на себя ответственность за результаты своей деятельности и т. д. Мы сталкивались с ситуацией, когда студент решил задачу с помощью математического аппарата, который он не изучал. Студенту разрешили воспользоваться учебником, и он самостоятельно нашел нужный материал и смог его применить, пусть даже с ошибками. Всегда ли надо однозначно негативно оценивать тот факт, что он воспользовался результатами труда другого человека, если он не прибегал к подкупу, угрозам и другим социально негативным средствам? Умение стимулировать деятельность других людей, организовывать ее, контролировать ‑ это важные качества, например, для руководителя, организатора.

В процессе обучения следует формировать многоплановое, многогранное представление о рассматриваемом феномене. Это относится не только к математическим понятиям, теоремам и методам, но и к моделям деятельности. Например, ошибки, допускаемые обучаемыми, могут свидетельствовать об усвоении определенных компетенций, когда он выполняет действие автоматически, пропустив оценку применимости. Таким образом, совершение определенных ошибок может быть использовано для оценки уровня развития обучаемого. Многоаспектная оценка деятельности необходима в ситуации, когда обучаемые пытаются решить задачу разными способами. В этом случае следует комплексно оценивать разные варианты решения: одно решение интересно тем, что используется только очень простая математика, не требуются глубокие знания, второе – что применен готовый алгоритм, не пришлось тратить ресурсы на поиск «хитрого решения», третье – эстетически привлекательное решение, красивое, использующее остроумную идею и др. Получение разных вариантов (в данном случае – вариантов решения) важно не само по себе, а как повод для комплексной многоаспектной оценки рассматриваемого феномена (в данном случае – решения задачи).

Важен учет многообразия эталонных моделей деятельности и ее результатов не только со стороны преподавателя. Привлечение обучаемых к комплексной многосторонней оценке собственной деятельности и деятельности других участников образовательного процесса (включая преподавателя) при правильной организации может сыграть важную роль в раскрытии потенциала обучаемого.

Применение тестирования для обучения и для оценивания учебных достижений обучаемых при неправильном использовании может оказаться препятствием к формированию умения многосторонне оценивать адекватность, поскольку тест обычно предлагает однозначную и одностороннюю оценку результата деятельности. Однако как тестовую форму контроля, так и использование заданий в тестовой форме с целью обучения можно использовать для формирования привычки к многосторонней оценке адекватности модели. В качестве примеров на рис. 5 и рис. 6 приведены фрагменты именных индивидуальных домашних заданий в тестовой форме (с автоматизированной генерацией и проверкой заданий).

Рис. 5. Пример учебной задачи с неявным формированием оценок адекватности.

Содержание пунктов заданий 1-3 для тестов 30, 31 по существу одинаково, но пункт 4 в этих заданиях предусматривает существенно разную оценку адекватности выражений в правой части первого равенства относительно выражения в левой его части.

Рис. 6. Пример учебной задачи с неявным формированием других оценок адекватности.

В первом задании теста 29 на рис. 7 предлагаются два варианта приближенного вычисления денежной суммы. Традиционно в математике предпочтительным считается точное вычисление (^[12] и др.) Но во втором задании требуется указать наиболее адекватный выбор их этих приближенных вычислений, причем наиболее адекватным оказывается способ вычисления, результат которого имеет, вообще говоря, наибольшую погрешность по сравнению с точным значением.

Рис. 7. Пример задания на исследование с явным требованием оценки адекватности.

Выводы

I. Построена модель оценивания адекватности учебной математической деятельности и математических феноменов, рассматриваемых как компоненты образования экономистов и инженеров. Показано, что формализация конкретной характеристики адекватности может начинаться либо с построения эталонной модели (с последующей конкретизацией соответствующей функции), либо с формирования способа сравнения (с последующим выделением эталонной модели и формализацией соответствующей функции).

II. На основе анализа различных аспектов учебной математической деятельности и примеров математических феноменов:

1) показано, что содержание математического образования обладает достаточным потенциалом в формировании многостороннего и многопланового представления о рассматриваемых феноменах;

2) продемонстрировано, как в реальном учебном процессе можно осуществить многоаспектное оценивание адекватности полученных результатов деятельности посредством сравнения с различными эталонными моделями;

3) показано, как можно формировать систему оценивания адекватности, начиная либо с эталонных моделей, либо с характеристик адекватности.

III. Предложенный нами механизм комплексного оценивания математической деятельности и деятельности по применению математики в процессе обучения математике экономистов и инженеров позволяет:

1) сформировать у студента умение и привычку к многостороннему и многоплановому анализу рассматриваемых явлений;

2) выработать у преподавателя привычку к формированию многоаспектного представления об обучаемом.

Обсуждение

В дальнейшем нам представляется целесообразным развитие проведённого исследования по следующим направлениям:

– конкретизация полученных результатов применительно к типовым феноменам, составляющим основное содержание базовых математических курсов для инженеров и экономистов;

– разработка и корректировка дидактических методов и средств математического образования, направленных на развитие у обучаемых способности комплексно оценивать математические феномены, свою деятельность и её результаты;

– разработка рекомендаций по корректировке существующих способов оценивания достижений обучаемых.

Как показал опыт, формирование столь сложного умения как многостороннее оценивание деятельности, целесообразно осуществлять посредством обучения реализации соответствующей стратегии. Формализация этой стратегии также является предметом дальнейших исследований.