Проблема оснований математики как философская головоломка

Суровягин Дмитрий Павлович кандидат философских наук доцент кафедры философии Саратовской государственной юридической академии 410056, Россия, Саратовская область, г. Саратов, ул. Вольская, 1, оф. 621 Surovyagin Dmitriy Pavlovich PhD in Philosophy Docent, the department of Philosophy, Saratov State Law Academy 410056, Russia, Saratovskaya oblast', g. Saratov, ul. Vol'skaya, 1, of. 621 surovyagin@hotmail.com Другие публикации этого автора

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-011-00582.

Введение: проблема оснований математики и непредикативное определение понятий

Проблема оснований математики — это ситуация в истории науки, возникшая в начале XX века в связи с открытием теоретико-множественных парадоксов и логических антиномий. Предпосылкой этой проблемы стала так называемая арифметизация анализа, то есть программа перевода понятий дифференциального и интегрального исчислений на язык арифметики и теории множеств, осуществленная, главным образом, К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом и Г. Кантором. Эти ученые стремились точно определить те базовые понятия математики, которые до них использовались интуитивно. Как пишет С. К. Клини: «Доверие к несколько туманной геометрической интуиции было заменено определением действительных чисел как некоторых объектов, построенных из натуральных, целых или рациональных чисел. При этом свойства действительных чисел сводились в конечном счете к свойствам натуральных чисел» ^{[5, с. 34]}.

Однако попытка полностью основать здание математики на фундаменте теории множеств столкнулась с серьезными трудностями — антиномиями. Говорят, что теория содержит антиномию, если в ней доказуемы два противоречащих друг другу высказывания (P и ¬P) или эквивалентность двух таких высказываний (P ↔ ¬P), даже если аксиомы теории кажутся истинными, а правила вывода — корректными ^{[13, с. 11]}.

Логическая антиномия, открытая Бертраном Расселом в 1903 году, вызвала настоящий математический кризис. Состоит она в следующем. Существуют множества, которые не являются собственными элементами (например, множество планет само не есть планета). Существуют также множества, которые являются собственными элементами (например, множество всех множеств само является множеством). Рассмотрим множество S всех тех множеств, которые не являются собственными элементами. Спрашивается: является ли S собственными элементом? Если S принадлежит S (то есть является собственным элементом), то оно является множеством, которое не является собственным элементом. Если S не принадлежит S (то есть не является собственным элементом), то оно, очевидно, должно принадлежать множеству S всех множеств, не являющихся собственными элементами. Обнаружили противоречие.

Приведем также пример семантической антиномии Греллинга–Нельсона (1908 г.). Некоторые прилагательные обладают теми свойствами, на которые указывают (например, прилагательное «русское» является русским, а «многосложное» — многосложным). Другие же прилагательные не обладают описываемыми в них свойствами («синее» не является синим, «односложное» — не является односложным и т. д.). Назовем прилагательные второго рода гетерологическими, и спросим: является ли само прилагательное «гетерологическое» гетерологическим или нет? При любом ответе на этот вопрос приходим к противоречию.

Поскольку в математике такие конструкции как, например, бесконечная совокупность рациональных чисел, образующих нижнюю половину дедекиндова сечения, или множество цифр последовательности, образующих десятичную дробь, рассматривались как элементы новых множеств, антиномии необходимо было срочно устранить. Почти сразу было замечено, что к возникновению антиномий приводит использование непредикативно определенных понятий.

Понятие определено непредикативно, если в определяющем выражении (дефиниенсе) содержится ссылка на множество, элементом которого является определяемый объект (дефиниендум). Сам термин «непредикативное определение» ввел А. Пуанкаре ^{[13, с. 213-221]}. Иными словами, непредикативное понятие определяется само через себя и является примером так называемого «порочного круга» в определении. Такие понятия, по-видимому, должны быть исключены из теории как логически ошибочные.

Но оказалось, что непредикативные понятия содержатся не только в теории множеств, но и в обычном анализе и арифметике. Например, натуральное число определялось у Фреге и Рассела с помощью математической индукции как кардинальное число, которое обладает таким свойством Р, что (1) 0 обладает свойством Р и (2) n + 1 обладает свойством Р, поскольку n обладает свойством Р. Это определение непредикативно, поскольку дефиниендум («быть натуральным числом») принадлежит совокупности свойств кардинальных чисел, которая предполагается в дефиниенсе ^{[5, с. 45-46]}. Естественно, встал вопрос об исключении непредикативных понятий из языка дедуктивных наук или, по крайней мере, о нахождении какого-то безопасного способа обхождения с ними.

Развернувшиеся дискуссии вокруг непредикативных определений, антиномий и бесконечности в математике как раз и называются в истории науки проблемой оснований математики. Сложилось три основных направления в решении этой проблемы: логицизм (Б. Рассел, А. Уайтхед, Ф. П. Рамсей), интуиционизм (Л. Брауэр, А. Гейтинг, С. К. Клини), и формализм (Д. Гильберт, В. Аккерман, П. Бернайс) ^{[5, с. 45-58]}.

На наш взгляд, к этому перечню направлений следует добавить еще одно: логический эмпиризм или неопозитивизм (Р. Карнап, Ф. Кауфман, Л. Витгенштейн), потому что в трудах представителей этой философской школы также было предложено оригинальное решение проблемы оснований математики. Забегая вперед, скажем, что это решение основывалось на логицистской теории типов и на классическом для логического эмпиризма разграничении предложений дедуктивных и естественных наук. Попробуем обосновать данный тезис.

Логицистское решение проблемы

Безусловно, представители логического эмпиризма сочувствовали задачам логицизма. На это указывают их собственные публикации. Рудольф Карнап, обосновывая основной тезис логицизма, указывал, что он разделяется на два утверждения: «1. математические понятия выводимы из логических понятий с помощью явных определений; 2. математические предложения с помощью число логических дедукций выводимы из логических аксиом» ^{[2, с. 225]}. Оба этих утверждения нашли горячих сторонников среди представителей логического эмпиризма.

Но это не значит, что неопозитивисты полностью поддерживали логицистские методы решения проблемы оснований математики. Вопрос трактовки непредикативных определений и бесконечности в математике решался этими философами иначе, чем логицистами. Но рассмотрим сначала логицистское решение.

Широко известным ответом Бертрана Рассела на вызов, брошенный антиномиями, стала разветвленная теория типов ^{[8, с. 21-65]}. Согласно этой теории, элементарные объекты анализа или индивиды (a, b, c, …) относятся к типу 0, свойства этих объектов (f(a), g(a), h(a), …) — к типу 1, свойства свойств объектов (F(f), G(f), H(f), …) — к типу 2 и т. д. Свойства, не относящиеся ни к одному из типов, не допускаются теорией.

Основная идея теории типов заключается в том, что каждое понятие относится к определенному типу и может осмысленно применяться только к выражениям нижележащего типа. В частности, о некотором свойстве нельзя сказать, что оно принадлежит или не принадлежит самому себе, то есть выражения вида f(f) или ¬f(f) считаются в этой теории бессмысленными. Эта особенность исключала образование многих теоретико-множественных антиномий.

Но чтобы избавиться от причины антиномий — непредикативных определений, Рассел внутри каждого типа подразделил объекты еще и на порядки. Например, для типа 1 все свойства, которые определяются без упоминания какой-либо совокупности, относятся к порядку 0, а свойства, которые определяются с помощью совокупности свойств этого порядка, относятся к следующему порядку 1 и т. д.

Благодаря всем этим разграничениям, Расселу удалось сделать упомянутое выше логицистское определение натурального числа предикативным: свойство Р в нем рассматривалось как пробегающее только по свойствам данного порядка, а свойство «быть натуральным числом» принадлежало уже следующему порядку. Однако такое разбиение объектов внутри типов на порядки делало невозможным определение многих понятий анализа и арифметики.

Рассел попытался избежать этого затруднения, постулировав так называемую аксиому сводимости: «Каждая пропозициональная функция для всех своих значений эквивалентна некоторой предикативной функции» ^{[8, с. 43]}. Иными словами, для каждого свойства, принадлежащего ненулевому порядку, имеется равнообъемное ему свойство нулевого порядка. Проблема решалась таким образом, что для каждого непредикативного определения внутри данного типа находилось эквивалентное ему предикативное определение, если только определимые свойства рассматривались как существующие.

Аксиома сводимости, согласно Расселу, опирается на тот же здравый смысл, который дает нам право использовать в языке понятие класса. Она должна быть принята для функций, независимо от типа их аргументов, чтобы построение некоторых понятий математики стало возможным в разветвленной теории типов. Однако необходимость принятия этой аксиомы на веру (пусть даже и в здравый смысл) вызвала многочисленные возражения. Как заметил Карнап: «единственное оправдание для введения этой аксиомы состоит в том, что из трудностей, порождаемых разветвленной теорией типов, не видно никакого другого выхода» ^{[2, с. 231]}.

За развитие логицистской программы взялся математик и философ Фрэнк П. Рамсей. Он показал, что проблема оснований математики может быть решена без иерархии порядков и аксиомы сводимости. Разветвленную теорию типов Рассела он находил излишне сложной и ограничивался простой теорией, в которой объекты не делятся внутри типов на порядки. Аксиому сводимости он также критиковал как недопустимое в математике эмпирическое утверждение, истинность или ложность которого является предметом не логики, но факта ^{[7, c. 23-24]}.

С его подачи все антиномии принято делить на логические (антиномии Рассела, Кантора, Бурали-Форти) и семантические (антиномии Греллинга–Нельсона, Ришара, парадокс лжеца). Если логические антиномии исключаются простой иерархией типов (поскольку пропозициональная функция не может принимать саму себя в качестве аргумента), то семантические антиномии, как заметил Рамсей, вообще не могут появиться внутри символических языков логики и математики, поскольку в них отсутствуют средства описания выражений этого языка ^{[7, c. 30-31]}. Семантические антиномии возможны только в нестрогом и семантически замкнутом естественном языке.

Поскольку антиномии не представляли проблемы для теории типов, с непредикативными определениями Рамсей вообще не счел нужным бороться. Он переопределил понятие предикативной функции таким образом, что понятия математики, считавшиеся ранее непредикативными, перестали быть таковыми ^{[7, c. 40-49]}.

Но его доводы в ходе обоснования допустимости непредикативных определений внутри данного логического типа предполагают, что совокупность всех предикатов этого типа существует независимо от их конструируемости или определимости. Рамсей пишет: «Любая пропозиция выражает согласование или несогласование с дополнительными множествами истинностных возможностей атомарных пропозиций, и наоборот, для любого множества таких истинностных возможностей было бы логически возможным утверждать согласование с одними пропозициями и несогласование со всеми другими, стало быть, множество истинностных возможностей определяет пропозицию» ^{[7, c. 41]}.

Иными словам, совокупность свойств существует сама по себе, но человек, будучи конечным существом, не может обозначить каждое свойство из этого бесконечного множества и некоторые из них выделяет, ссылаясь на совокупность всех свойств. Поскольку мы не можем записать пропозицию бесконечной длины, допустимо характеризовать математический объект с помощью совокупности, к которой он сам принадлежит, если, конечно, этот объект действительно имеет бесконечную природу.

В. А. Суровцев характеризует эту предпосылку Рамсея как математический реализм, поясняя, что: «Рамсей рассматривает функции по их объективному значению, а не по тому, как они строятся с точки зрения возможностей используемого нами языка. При этом задействуется реалистский взгляд на функции, в корне отличный от конструктивистского, который ориентируется на возможности нашего их построения» ^{[12, с. 106]}. Позицию Рамсея некоторые рассматривают даже как радикальную форму платонизма, из которой следует, что все свойства и соответствующие им классы существуют сами по себе, независимо от наших возможностей их сконструировать или определить ^{[14, p. 45]}.

Поэтому, например, С. К. Клини констатировал, что «ни Уайтхеду и Расселу, ни Рамсею не удалось конструктивным путем достичь логицистической цели» ^{[5, c. 47]}, в основе их теорий лежат положения эмпирического (как у Рассела) или метафизического (как у Рамсея) характера, которые подрывают логицистский фундамент математики. Однако обсуждение преимуществ или недостатков логицизма выходит за пределы этой статьи. Наша цель — показать отличия логицизма от логического эмпиризма в решении проблемы оснований математики. Посмотрим, что смогли предложить в качестве решения этой проблемы неопозитивисты.

Неопозитивистское решение проблемы

На наш взгляд, неопозитивисты более последовательно, чем логицисты, придерживались конструктивистских позиций в философии математики. Они стремились элиминировать из нее всякий эмпиризм, понимая под последним проблематичные аксиомы Рассела, и всякий платонизм, то есть стремление к идеализации абстрактных объектов, в котором заподозрили Рамсея. Историк неопозитивизма В. Крафт по этому поводу отмечал: «Выход из дилеммы: отказ от эмпиризма или ошибочное истолкование логики и математики, был найден только Венским кружком: логика и математика ничего не говорят о чувственно воспринимаемом мире. Логика не дает никакого знания, она выражает не основные законы бытия, а основоположения упорядочения мыслей. Логические связи являются только мысленными, они представляют собой не фактические связи реальности, а лишь связи в системах изображения реальности» ^{[6, с. 55-56]}.

Тем не менее, основной тезис логицизма, согласно которому математика сводима к логике, неопозитивистами принимается. Систему логики Уайтхеда и Рассела Рудольф Карнап считал отправным пунктом методологии дедуктивных наук. Но главной особенностью получения математических понятий он считал именно конструктивизм: «Суть логицистского метода введения действительных чисел заключается в том, что здесь эти числа не “постулируются”, а ”конструируются”. Начинают не с постулатов или аксиом, устанавливающих существование объектов, обладающих свойствами действительных чисел, а с конструирования посредством явных определений таких логических структур, которые благодаря этим определениям обладают теми свойствами, которые в арифметике приписываются действительным числам» ^{[2, c. 228]}.

С точки зрения конструктивизма, математические понятия не существуют извечно в некотором мире идей, но и не берутся из опыта. Они порождаются специальными генетическим определениями тогда, когда они нам нужны для решения какой-то конкретной задачи. То есть математическое понятие — это некоторый способ обращения с языком или, если пользоваться термином Витгенштейна, правило, следуя которому мы выполняем логические операции с символами и получаем искомое выражение. Но как конструктивизм может помочь в решении проблемы оснований математики?

Карнап считает верной идею Рамсея ограничиться простой теорией типов, но он, конечно, не принимает его обоснование допустимости непредикативных определений. По мнению Карнапа, рамсеевское положение об объективности значений пропозициональных функций слишком уж напоминает платоновское царство идей и не имеет никаких убедительных оснований. Он пытается сохранить возможность непредикативного определения понятий, избегая математического реализма Рамсея.

Карнап обратил внимание на еще одно необходимое условие возникновения антиномий: понятия в них не только определены непредикативно, но и содержат ссылку на некоторую бесконечную совокупность. В качестве примера он приводит понятие индуктивного числа: число называется индуктивным, если оно обладает всеми наследственными свойствами нуля, при этом свойство называется наследственным, если всегда, когда оно присуще некоторому числу n, оно присуще и следующему за ним числу ` ` n + 1. Символически:

Инд (x) =_Df (f) [(Насл(f) · f(0)) → f(x)].

Это определение содержит «порочный круг»: в дефиниенс входит выражение (f), означающее: «для всякого свойства», а в бесконечном множестве всех свойств, очевидно, содержится и сам дефиниендум (свойство «быть индуктивным»), то есть определяемое свойство неявно входит в определяющую часть выражения.

Но каким образом можно было бы обнаружить этот «порочный круг»? Можно ли считать предложение о бесконечной совокупности свойств эмпирически осмысленным? Карнап отвечает: «Если попытаться исследовать каждое отдельное свойство, то мы попадаем в замкнутый круг, ибо при таком исследовании мы встретимся также и со свойством “индуктивный”. Такая проверка была бы принципиально невозможна, поэтому наше понимание было бы лишено смысла. Однако проверка математических общих высказываний вовсе не сводится к исследованию всего ряда конкретных случаев. Это объясняется тем, что в данном случае, как и вообще при непредикативных определениях, речь идет о бесконечных совокупностях объектов. Мысль о необходимости перебора частных случаев обусловлена отождествлением “пронумерованной” (“numerischen”) общности, состоящей из уже данных предметов, со “специфической” общностью. Специфическая общность определяется не перечислением отдельных случаев, а логическим выводом из определенных постулатов» ^{[2, c. 236]}.

Поясним эту мысль. Если в дефиниенсе определения речь идет о «пронумерованной» общности, т. е. о конечном множестве объектов, которые можно пересчитать и исследовать, то мы вправе предъявлять такому определению требование отсутствия «порочного круга», ведь в противном случае дефиниенс ссылается на дефиниендум и определение бесполезно. Если же в дефиниенсе фигурирует «специфическая» общность, под которой понимается генерируемое самим определением бесконечное множество все новых математических объектов, то непредикативность такого определения не представляет проблемы для математики, а даже напротив — является важным условием ее универсальности.

Следовательно, непредикативные определения, похожие на приведенное выше определение индуктивного числа, логически допустимы. Антиномии и парадоксы возникают из-за них тогда, когда забывают о конструктивном характере непредикативных математических понятий и требуют от них эмпирической осмысленности понятий естествознания.

Возможность непредикативных определений в случае конструктивного понимания природы бесконечных множеств полагал и другой неопозитивист — Феликс Кауфман, написавший на данную тему специальную книгу «Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung» (1930 г.). Согласно Кауфману, логицисты неверно трактовали сущность абстракции в математике: «Результат абстрагирования, то есть смысл полученного благодаря абстрагированию понятия, не зависит от того, где и когда существуют объекты, представляющие индивидуацию абстракции. Таким образом, нет никакой логической корреляции между некоторым свойством и определенным числом объектов, обладающих этим свойством» ^{[4, с. 257]}.

С точки зрения Кауфмана, рассуждения о «множестве множеств» и другие итерации понятия класса лишены смысла, если классу приписывается определенное число предметов, т. е. если имеет место не логическая связь понятий, а эмпирическая констатация количества. Иными словами, если «множество» понимается как некоторая функция-высказывание f(x), то оно не определяет количества принадлежащих ему объектов, удовлетворяющих f(x). Если же под «множеством» подразумевают некоторое количество предметов, то обязательно имеют в виду определенный порядок их счета.

Таким образом, Кауфман пытается эксплицировать понятие «множество», разделив его на два непересекающихся термина, первый из которых должен использоваться в дедуктивных дисциплинах, а второй — в естественнонаучных. Поскольку смысл предложения определяется способом его верификации (исходная установка неопозитивистов, заимствованная, как считается, у Витгенштейна), Кауфман утверждает, что эквивалентность дефиниендума и дефиниенса научного определения может быть верифицирована двумя различными способами, и, следовательно, речь должна идти о двух различных пониманиях того, что такое множество. Еще одна цитата: «Как только осознано это различие, так сразу же становится ясно, что тот эмпирический факт, что предметы, выполняющие одну из двух функций-высказываний, выполняют также другую функцию-высказывание, не может иметь никакого значения при решении вопроса об основаниях неэмпирических наук, таких как логика и математика. Здесь речь идет только о том понятии класса, которое возникает из тождества значений» ^{[4, с. 263-264]}.

В контексте этой дискуссии мы уже дважды упомянули имя Людвига Витгенштейна. Посмотрим, какие подходы к решению проблемы оснований математики предлагает его философия.

Проблема оснований математики у Витгенштейна

По многим историческим и методологическим причинам Витгенштейна нельзя считать неопозитивистом. Однако нельзя и отрицать того факта, что его «Логико-философский трактат» оказал значительное влияние на становление научного мировосприятия Венского кружка, хотя на заседаниях самого кружка Витгенштейн никогда не появлялся ^{[6, с. 40]}. Общеизвестно также, что идеи раннего Витгенштейна во многом были созвучны логическому эмпиризму. К таким идеям следует отнести, прежде всего, понимание тавтологий как предложений, истинность которых зависит только от их логической формы, и понимание философии как способа анализа языка.

Однако и у позднего Витгенштейна есть идеи, которые, как мы надеемся показать, совпадают с позициями логического эмпиризма. Одна из таких идей — философская головоломка (puzzle), то есть замешательство, тупик или ловушка в языке, возникающая вследствие смешения различных способов употребления слов. Основные две причины возникновения философских головоломок — это смешение обыденного языка со строгим и смешение разных способов употребления слов в языке ^{[10, с. 201]}. Можно также сказать, что головоломка — это следствие нарушения правил определенной языковой игры. Но возможны ли философские головоломки в столь строгой науке как математика?

Прежде чем отвечать на этот вопрос уточним, что в философии математики Витгенштейн, также как и неопозивитисты, придерживался конструктивистских позиций. Например, размышляя о законе исключенного третьего, Витгенштейн соглашается с интуиционистом Брауэром в том, что применимость этого закона ограничена рамками «конечной» математики, не нуждающейся для определения своих базовых понятий в бесконечных множествах. Однако он добавляет, что неприменимость к определениям «бесконечной» математики закона исключенного третьего означает также неприменимость к ним всех остальных логических пропозиций.

Рассмотрим его пример: «Если кто-то выдвигает закон исключенного третьего, то он как бы предлагает нам на выбор две картины, говоря, что одна из них должна соответствовать факту. А что, если сомнительна сама применимость здесь этих картин? Заявляя, что бесконечное разложение π должно либо содержать, либо не содержать сочетание φ, нам предлагают как бы картину уходящего вдаль необозримого ряда. А что, если изображение на большом удалении начинает терять четкость контуров? Говорить о бесконечном ряде, что он не содержит определенного сочетания, имеет смысл только в совершенно особых условиях. Это значит: такое предложение обретает смысл лишь в известных случаях. Например, в таких, когда присутствие сочетания φ исключено законом данного ряда» ^{[1, с. 146-147]}.

Иными словами, если мы можем уставить, следуя некоторому правилу (закону), содержится или не содержится определенное сочетание цифр φ в бесконечном разложении числа π, то закон исключенного третьего работает. Если не можем, то мы уже за пределами логики. Если правило (закон), по которому мы можем строить бесконечный ряд, задано, то математическое предложение, содержащее ссылку на такой ряд, осмысленно. Если же правило не задано, а мы продолжаем рассуждать о бесконечном ряде, то мы не понимаем о чем говорим.

Здесь очевидна аналогия между, с одной стороны, Карнапом и Кауфманом, утверждающими, что «специфическая» общность осмысленного непредикативного определения должна быть сконструирована, и, с другой стороны, Витгенштейном, рассуждающим о необходимости правила для понимания смысла предложения о бесконечном числовом ряде. В обоих случаях речь идет о том, что осмысленность математической пропозиции со ссылкой на бесконечность зависит от того, сможем ли мы предложить адекватный способ логического конструирования этой бесконечности.

Тем не менее, понимая законосообразный бесконечный ряд чисел как всегда определенный, мы, по выражению Витгенштейна, используем дезориентирующую нас картину, попадаем в ловушку языка: «Желая узнать о ряде больше, ты должен как бы переместиться в другое измерение (как бы с линии на окружающую ее плоскость)» ^{[1, с. 147]}. К. А. Родин и М. Н. Шалдяков поясняют эту проблему следующим образом: «Для Витгенштейна спрашивать „появляется ли в некотором разложении такая-то последовательность“, — значит задавать вопрос о правиле появления такой последовательности, а альтернатива существованию или не-существованию подобного правила — не математическая проблема» ^{[11, с. 152]}.

Проблема является не математической, но языковой или философской (что то же самое с точки зрения философа-аналитика). Это головоломка, вызванная смешением разных типов пропозиций: естественнонаучных и собственно математических. Витгенштейн подчеркивает, что если для естествознания характерна апелляция к фактам, то математика ничего не описывает, она представляет собой лишь исчисление, калькулятор, абак ^{[14, p. 4]}. Предложения математики образуют логическую систему, которую можно считать особой языковой игрой: «Утверждение, что математика — игра, должно означать: в ходе доказательства никогда не следует апеллировать к значению знаков, то есть к их внематематическому применению» ^{[1, с. 141]}.

Для игры существенна логическая связность, внутренняя механика. Витгенштейн иронизирует: «Представь себе, что теория множеств изобретена неким сатириком как своеобразная пародия на математику. Затем в ней углядели бы разумный смысл и включили ее в математику. (Ведь, если кто-то один может считать ее раем для математиков, почему бы кому-то другому не признать ее шуткой?) Вопрос в следующем: разве не очевидно, что она и в качестве шутки является математикой? А почему очевидно, что она является математикой? Не потому ли, что это знаковая игра по правилам?» ^{[1, с. 144]}.

Действительно, почему бы некоторые сложные игры (например, ролевые игры Dungeons & Dragons, преферанс, шахматы и т. п.) не представить как математические теории? Или математические теории — как своеобразные игры на любителя? Конечно, уровень эвристической значимости и веселья у таких игр/теорий будет отличаться, но принцип организации у них общий — набор символов и логически связанных правил, позволяющий оперировать этими символами.

Но вернемся к проблеме оснований математики. Предложенное Рамсеем уточнение логицизма Витгенштейн не считает приемлемым. Он критикует платонизм Рамсея с точки зрения математического финитизма, согласно которому утверждать существование бесконечных математических объектов можно лишь в том случае, если мы в состоянии задать определенный способ их построения ^{[14, p. 1-20, 74-75]}, и отрицает введенные Рамсеем экстенсиональные функции, с помощью которых последний рассчитывал установить соответствие между математическими предикатами и множествами реальных объектов. Как замечает К. А. Родин: «Для Витгенштейна нет такой „вещи“ как экстенсионально заданные — вне правила или алгоритма — бесконечные множества (подобные множества фигурируют в определении экстенсиональной функции как область определения функции и область значения функции: множество индивидов и множество случайных пропозиций соответственно). И экстенсиональные функции Витгенштейн отрицает потому, что для Витгенштейна не существует функции вне правила соотнесения элементов одного множества с элементами другого множества» ^{[9, с. 183]}.

Из всего этого следует довольно однозначное отношение Витгенштейна к проблеме оснований математики. Эта проблема для него является философской головоломкой, ловушкой, в которую математики и логики загнали себя сами, пренебрегая принципиальным отличием математических пропозиций от естественнонаучных. С точки зрения Витгенштейна, было бы правильнее считать, что математика состоит не из пропозиций, а из вычислений, то есть правил обращения с символами. При таком подходе к пониманию природы математики проблема ее оснований кажется весьма преувеличенной.

Заключение

Таким образом, как неопозитивисты, так и Витгенштейн основывали свое решение проблемы оснований математики на попытке уточнения метаматематических понятий (таких как «множество», «функция», «определение») и разведении математического и естественнонаучного дискурсов. В этом проявилась фундаментальная установка логического эмпиризма: осмысленность математической или логической пропозиции не зависит от эмпирической проверки (верификации), а выводится из уже принятых определений и аксиом соответствующей математической или логической теории.

Относительно непредикативных определений в математике мы не можем судить, являются ли они бессмысленными в эмпирическом отношении, поэтому не стоит поспешно диагностировать у них «порочный круг». «Если, — как пишет Карнап, — отбросить мысль о необходимости проверять все отдельные случаи и уяснить себе, что общезначимость некоторого высказывания для любого свойства не означает ничего иного, кроме его логического (точнее, тавтологичного) значения при неопределенном свойстве, то мы придем к убеждению, что непредикативные определения логически допустимы» ^{[2, с. 237]}. Иными словами, если не дана ограниченная, верифицируемая область объектов, описываемых в дефиниенсе, или не задано правило, по которому эту область объектов можно сконструировать, то мы вообще не вправе считать осмысленным такое определяющее выражение.

Философский тезис, с которым, по-видимому, ученому весьма трудно согласиться, заключается в том, что смысл предложения в дедуктивных науках отличается от такового в индуктивных (естественнонаучных) дисциплинах. Но именно этот тезис является главной отличительной особенностью философии математики Карнапа, Кауфмана и Витгенштейна. Конечно, в деталях их позиции расходятся, но в общем — совпадают.

Мы попытались показать самостоятельность осмысления представителями логического эмпиризма проблемы оснований математики. На наш взгляд, их подход существенно отличается от логицистcкого решения. Если логицизм предлагает принять данную проблему как факт и разрабатывает технические средства ее обхода, то логический эмпиризм пытается ее элиминировать как псевдопроблему или философскую головоломку, возникшую в результате запутанности языка. Интересно было бы сравнить их позицию также с интуиционизмом и формализмом, но это уже тема другого исследования.

Подобный подход к проблеме оснований математики можно рассматривать как философскую экспликацию. Позиция неопозитивистов и Витгенштейна в этом вопросе представляет собой одну из концепций философии науки, если под философией науки понимать систематическое осмысление некоторой научной проблемы. Карнап развивает ее в более поздней своей статье «Эмпиризм, семантика и онтология». Системы целых, рациональных и действительных чисел понимаются им как способы речи, подчиненные определенным правилам, т. е. как «языковые каркасы» ^[3]. Онтологические вопросы о реальности объектов, описываемых такими каркасами, объявляются философскими псевдовопросами, поскольку логическое конструирование нового типа объектов (таких, например, как действительные числа) возможно только как введение новых переменных в систему с уже заданными правилами оперирования подобными символами.

Когда мы ставим вопрос о реальности того или иного математического объекта, мы выбираем, включать или не включать этот объект в систему других объектов, уже признанных реальными, в соответствии с правилами каркаса. То же самое справедливо и для физических объектов в физикалистском языке. Как замечает Карнап: «быть реальным в научном смысле, значит быть элементом системы, следовательно, это понятие не может осмысленно применяться к самой системе» ^{[3, c. 301]}. Выбор формы языка, то есть выбор правил образования предложений и их проверки, обуславливает принятие мира объектов. Но это не значит, что эффективность, например, языка физики подтверждает реальность мира; скорее наоборот, факт такой эффективности делает целесообразным принятие языка. Мы не выходим за пределы языка даже когда спрашиваем о существовании объектов, поскольку такого рода вопросы определены как внутренние по отношению к самому каркасу.

По мнению интуиционистов, подобное отношение к логике и математике не продуктивно. Например, Стивен К. Клини утверждает: «Если аксиоматика формальна, то по крайней мере нам нужна уверенность, что теоремы следуют из аксиом; и, кроме того, чтобы математическое творчество не сводилось к бессмыслице, должно иметься какое-то соответствие между этими результатами и некоторой действительностью, лежащей вне аксиоматических теорий» ^{[5, с. 44]}. То есть с точки зрения научного творчества, эффективнее думать о математических объектах как о реально существующих. Но именно такое «соответствие действительности» аналитическая философия неопозитивистов и Витгенштейна давать отказывается. Вместо этого философию математики предлагается строить на основе изучения и критики языка.

Рассматривая проблему непредикативного определения математических понятий, неопозитивисты и Витгенштейн выступали в привычной для себя роли аналитических философов, проясняющих смысл предложений науки. Поскольку их критика была направлена против неточного использования понятий, она ценна сама по себе как образец мышления, несмотря на то, что она в свое время не привела к революционным изменениям в метаматематике.