Оценка параметров экономических систем фильтром Калмана

Бородачев Сергей Михайлович кандидат физико-математических наук доцент, кафедра Анализа систем и принятия решений, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 620002, Россия, Свердловскаая область, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, ауд. И-301а Borodachev Sergei Mikhailovich PhD in Physics and Mathematics Docent, the department of System Analysis and Decision-making, Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin 620002, Russia, Sverdlovskaaya oblast', g. Ekaterinburg, ul. Mira, 19, aud. I-301a s.m.borodachev@gmail.com

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития Высшей школы экономики и менеджмента УрФУ.

ВВЕДЕНИЕ

Модель системы в пространстве состояний

, (1)

, (2)

где – наблюдаемая выходная величина, – управление, (t = 0, 1, …) – моменты времени, – состояние системы, , – шум системы и наблюдения,

, , , .

Фильтр Калмана (ФК) ^[1] есть рекуррентная процедура оценки состояний и выходных величин системы (1), (2). В частности, можно получить – прогноз выхода в момент t, с использованием информации, доступной на момент t-1.

Для такого использования ФК необходимо знание элементов уравнений системы. Но и для оценивания параметров θ этих элементов методом максимального правдоподобия (ML) также можно использовать ФК ^[2].

Функция правдоподобия выборки выходной величины

Здесь - условное распределение при известной информации по момент t-1 включительно. Предполагая распределение шумов нормальным, для нахождения этого распределения достаточно найти условные математическое ожидание и ковариационную матрицу выходной величины.

,

Где – оценка состояния , – её ковариационная матрица. Таким образом, опуская константы,

(3)

Здесь - наблюденная выборка, остальные величины, выражающиеся через параметры θ, определяются в ходе работы алгоритма ФК . Затем

.

Оценённые таким путём параметры можно подставить в ФК для получения оценок состояния системы, прогнозов состояния и выходной величины.

Альтернативный способ оценивания параметров – использование в качестве целевой функции квадратного корня среднеквадратичной ошибки (RMSE) прогноза ФК выходной величины

,

,

где Tl,…,Tu – некоторое подгоняемое множество моментов времени. Это может быть вся имеющаяся выборка или некоторое окно. Окно можно применить и в (3).

Во многих работах, посвященных применению ФК в экономике и финансах, см., например, ^[3] в сущности применяется рекуррентный метод наименьших квадратов ^[4] для оценки случайно изменяющегося вектора коэффициентов регрессии , который формально заменяет вектор состояния. Напротив, в настоящей работе акцент делается на структурной модели нетривиальной динамики (1) вектора состояния системы и оценки его ФК.

РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Прежде всего оценим этими двумя способами параметры простой системы формирования обменного курса доллара к рублю, предложенной в ^[5]. Исходные данные курса доллара, цены на нефть и индекса ММВБ, те же что и в работе ^[5], приведены на Рис. 1.

Рисунок 1. Ежедневные данные с 1 ноября 2015 по 20 декабря 2015. Выходная величина – наблюденный курс доллара (сплошная кривая) и компоненты управления: – изменение цены на нефть (пунктирная кривая) и – индекса ММВБ (точечная кривая) в произвольных единицах.

Вектор параметров модели θ = ( α β γ)T . Оценку начального состояния выберем нулевой, а ковариационную матрицу этой оценки единичной. Расчеты проведены в MathCAD.

Если подгонять модель к последним 10 наблюдениям (Tl =40, Tu = 49) из полного набора (t = 0, …, 49) 50 наблюдений, получим = (0.253816 0.037141 0.000731 0.746958 0.009838)T, RMSE (по с этими параметрами) = 0.273175 ₽. = (0.012065 0.001723 0.000676 0.748377 0.009825)T, RMSE = 0.273057 ₽. Интерпретация оценок параметров α, β, γ в этом случае приведена в статье ^[5].

Для того, чтобы учесть больше типов поведения участников валютного рынка при изменении цены на нефть и индекса ММВБ примем следующую модель изменения курса доллара

. Т.е. вектор параметров . Состояние системы в момент t характеризуется текущим курсом доллара и изменениями цены на нефть и индекса ММВБ за предшествующие 3 дня

.

При подгонке к последним 10 наблюдениям методом ML, RMSE = 0.222 ₽. Естественно это лучше, чем при 3-х параметрах α, β, γ (учете только отдельных стратегий трейдеров).

Для интерпретации параметров оценим их по максимально широкому временному диапазону данных: Tl = 5 (чтобы исключить начальные моменты настройки фильтра), Tu = 49. Методом ML, RMSE = 0.521 ₽. Оцененные параметры: - 0.002764, - 0.003424, 0.007277, - 0.000198. : - 0.674159, - 0.070286, 0.087841, 0.147199. Минимизацией среднеквадратичной ошибки предсказания RMSE = 0.517 ₽, оцененные параметры близки к приведенным. Результаты на Рис. 2.

Итоговая RMSE всегда несколько лучше при RMSE – целевой функции чем в методе ML. Это ясно, т.к. предположение о нормальности является ограничительным для привязки к реальным данным.

Рисунок 2. Фактический курс доллара ($/₽ сплошная кривая) и прогнозы по ФК с параметрами системы, оценёнными по ML (пунктирная кривая) и RMSE (точечная кривая).

Возможна следующая интерпретация.

Отрицательность α₀ означает одномоментное разнонаправленное изменение индекса ММВБ и курса доллара: биржа вверх – рубли в неё из доллара, вниз – продажа активов и в доллар. Положительность α₂ означает, что с запаздыванием в 2 дня приходят в доллар рубли от продажи выросших активов либо уходят в падающие.

Отрицательность β₀ – одномоментная эмоциональная покупка доллара с падением цены на нефть или откат наоборот. Значительное положительное β₃ – с запаздыванием в 3 дня приход новых денег от продажи нефти или уход рублей в поддержку падающих доходов нефтяников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наряду с очевидными одномоментными действиями участников валютного рынка обнаружено движение курса доллара к рублю в ту же сторону что и индекс ММВБ с запаздыванием в 2 дня, и в ту же сторону что и цена на нефть с запаздыванием в 3 дня.

Рассмотренный подход позволяет строить адаптивный фильтр Калмана, где параметры системы оцениваются по непосредственно предшествующему окну и с ними делается прогноз на шаг вперёд.