Правильная ссылка на статью:
Бурлов В.В., Ремонтова Л.В., Косолапов В.В., Косолапова Е.В..
Приёмы решения задач с кривыми второго порядка
// Программные системы и вычислительные методы. – 2018. – № 1.
– С. 73-80.
DOI: 10.7256/2454-0714.2018.1.22664.
DOI: 10.7256/2454-0714.2018.1.22664
Читать статью
Аннотация: Предмет исследования. В представленной рукописи рассмотрены вопросы, связанные с применением аффинных преобразований при решении задач с кривыми второго порядка, а именно растяжения и сжатия относительно прямой, то есть преобразования окружности в эллипс и наоборот.
Эллипс находит самое широкое применение в различных сферах благодаря изяществу формы и своим свойствам: в искусстве, дизайне, архитектуре, физике и технике, астрономии, его свойства описаны в художественной литературе. Построение эллипса может быть выполнено очень точно с помощью подручных средств (колышков, нити, перегибами круга, с помощью полоски бумаги), специальных приспособлений и современных вычислительных систем математического моделирования и САПР. Методы построения эллипса основаны на его свойствах, отчего зависит и его форма.
Использование закономерностей аффинного преобразования позволит закрепить навыки применения свойств эллипса и решения задач по определению его основных параметров. Метод проведения работы. В статье представлены приемы преобразований, направленные на определение большой и малой осей эллипса, построения касательных к эллипсу и определения точек пересечения прямой с эллипсом.
В результате проведенной работы получены алгоритмы решения задач, позволяющие, используя приём родственного преобразования, получить возможность определения точки пересечения прямой с поверхностями второго порядка (параболоида, однополостного гиперболоида) и усеченного конуса, а также определить оси эллипса, точки касания и пересечения прямой с эллипсом. Научная новизна. Предложен метод, позволяющий упростить решение конструкторских задач на пересечение поверхности второго порядка с прямой линией и с поверхностью второго порядка, что поспособствует повышению точности и адекватности их построения.
Выводы. Раскрыты свойства и суть аффинного преобразования эллипса в окружность и наоборот. Продемонстрированы алгоритмы решения различных геометрических задач на основе применения родственных преобразований. Материалы работы имеют практическую значимость, так как существенно расширяют представления о способах решения различных задач с кривыми второго порядка.
Ключевые слова: перпендикулярные прямые, родственные точки, сопряженные диаметры, ось родства, эллипс, аффинное преобразование, окружность, касательная, кривые, пересечение
Библиография:
Волошинов Д. В., Соломонов К. Н. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графически дисциплин // Геометрия и графика, 2013, Т. 1, № 2 (2), С. 10–13.
Бойков А. А. Компьютерные средства поддержки учебных курсов графических дисциплин // Геометрия и графика, 2013, Т. 1, № 2 (2), С. 29–30.
Арциховская–Кузнецова Л. В. О головоломности в начертательной геометрии // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 3, С. 31–35.
Гирш А. Г. Мнимости в геометрии // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 2, С. 3–8.
Дорохов, А. С. Компьютерное проектирование в системе AutoCAD / А. С. Дорохов. и др. — М. : Российский государственный аграрный университет — МСХА им. К.А. Тимирязева (Москва), 2016, 80 c.
Дорохов, А. С. Выполнение чертежей с использованием системы «Компас–3D» / А. С. Дорохов. и др. — М. : Российский государственный аграрный университет — МСХА им. К.А. Тимирязева (Москва), 2016, 76 c.
Иванов Г. С. Начертательная геометрия [Текст]: учеб. для вузов, М.: Машиностроение, 1995, 224 с.