Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
Правильная ссылка на статью:
Голик Ф.В.
Аппроксимация кривыми Пирсона плотности распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных величин
// Кибернетика и программирование.
2017. № 2.
С. 17-41.
DOI: 10.7256/2306-4196.2017.2.22583 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=22583
Аннотация:
Предметом исследования является плотность распределения вероятностей суммы m независимых одинаково распределенных случайных величин. Анализу распределения сумм случайных величин посвящены многочисленные фундаментальные исследования. Теория суммирования была и остается одним из важнейших разделов теории вероятностей. Доказанные в рамках этой теории предельные теоремы позволяют судить о том, какими распределениями можно аппроксимировать суммы случайных величин при больших m. При этом погрешность приближения оценивается предельной ошибкой. Однако в большинстве прикладных задач число суммируемых величин конечно и не велико, а оценки погрешности в виде предельной ошибки оказываются недостаточно точными. Целью настоящего исследования является разработка конструктивного метода аппроксимации плотности распределения суммы конечного числа независимых случайных величин с одинаковым распределением. В качестве аппроксимирующих распределений предложено использовать кривые Пирсона. Такая аппроксимация лишена недостатков, связанных с применением предельных теорем. Она применима при любом числе суммируемых случайных величин m>1. Решение поставленной задачи базируется на методе моментов. Автором предложена рекурсивная формула для расчета начальных моментов суммы независимых случайных величин, что позволило найти центральные моменты суммы, а затем и параметры кривых Пирсона. Доказано, что параметры кривых Пирсона для суммы m случайных величин связаны простыми соотношениями с соответствующими параметрами суммируемой величины. Найдена зависимость расстояния от точки, соответствующей распределению суммы случайных величин в системе координат параметров Пирсона, до точки (0, 3), соответствующей нормальному распределению. По величине этого расстояния можно косвенно судить о возможности применения аппроксимации нормальным распределением. Рассмотрена возможность аппроксимации кривых Пирсона нормальным распределением. Погрешность приближения при этом оценивается как расстояние в -метрике. Получена приближенная формула для оценки погрешности аппроксимации суммы m случайных величин нормальным распределением. Приведены примеры аппроксимации распределения суммы случайных величин, часто встречающихся в задачах статистической радиотехники. В качестве справочного материала приведены точные и полные формулы для основных типов кривых Пирсона. Все полученные результаты применимы при суммировании любых случайных величин, имеющих конечные первые четыре начальных момента. Корректность выводов подтверждена численными расчетами, выполненными в программе MathCad.
Ключевые слова:
случайная величина, кривые Пирсона, плотность распределения, моменты случайной величины, нормальный закон распределения, сумма случайных величин, рекурсивный алгоритм, вероятностная мера, погрешность аппроксимации, метод моментов
Abstract:
The article is devoted to working out the constructive method of approximation the sum of independent random variables with the same distribution by Pearson curves. The summation theory was and still is one of the key parts of the theory of probability. The limiting theorems are proven within this theory, and they allow one to understand which frequencies may be used for the approximation for the sum so random values with large m. At the same time the approximation error is evaluated by the admissible error. However, in most practical cases the number of the summed values is not large, so the admissible error evaluation may not be sufficiently precise. The purpose of the study is to develop a constructive method for the approximation of the frequency function for the spread of the final sum of the independent random values with the same frequency. The Pearson curves are then used as approximative frequencies. Such an approximation lacks the defects related to the application of limiting theorems. It is applicable for any number of summed accidental frequencies m>1. The calculated ratios for the initial moments of the final sum of independent random variables are obtained. It is shown that the parameters of the Pearson curves for the sum m of random variables are related by simple ratios with the corresponding parameters of the summed value. The solution used in order to achieve the goal is based upon the moments method. Thе author offers a recursion formula for calculating the starting moments of for the sum of independent random values, allowing to find the central moments of the sum, as well as the parameters for the Pearson curves. It is proven that there's a dependency between the distance from the point of The exact expression for the distance from the point, corresponding to the distribution of the sum of the random variables in the coordinate system of Pearson parameters to the point (0, 3), corresponding to the normal distribution is found. By the distance value, one can indirectly assess the possibility of applying normal approximation. The author studies the possibility for the approximation of Pearson curves with normal distribution. An approximate formula for estimating the error in approximating the sum of random variables by normal distribution is given. The author provides examples of approximations for the distribution of the sum of random variables are found, which are often met in statistical radio engineering tasks. The reference materials include complete formulae for the key types of Pearson curves. All the obtained results are applicable for any random variables having finite first four initial moments. The correctness of the conclusions is confirmed by numerical calculations performed in the MathCad program.
Keywords:
probability measure, recursive algorithm, sum of random variables, normal distribution, moments of a random variable, density function, Pearson curve, random variable, approximation error, method of the moments