Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 1990,   статей на доработке: 338 отклонено статей: 787 
Библиотека
Статьи и журналы | Тарифы | Оплата | Ваш профиль

Вернуться к содержанию

Гибридное моделирование системы Рёсслера посредством синхронизации аналоговой и дискретной моделей
Бутусов Денис Николаевич

кандидат технических наук

доцент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет им. В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ"

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Butusov Denis Nikolaevich

PhD in Technical Science

Associate Professor, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

dnbutusov@etu.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Каримов Артур Искандарович

кандидат технических наук

старший преподаватель, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Karimov Artur Iskandarovich

PhD in Technical Science

197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

aikarimov@etu.ru
Тутуева Александра Вадимовна

ассистент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Tutueva Aleksandra Vadimovna

assistant, St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

197376, Russia, Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

avtutueva@etu.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Красильников Александр Витальевич

ассистент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Krasil'nikov Aleksandr Vital'evich

197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

aleksandar7kr@gmail.com
Горяинов Сергей Вадимович

инженер, МНИИ, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Goryainov Sergei Vadimovich

197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

svgoryainov@etu.ru
Вознесенский Александр Сергеевич

инженер, кафедра АПУ, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

197376, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Voznesensky Aleksandr Sergeevich

197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5

a-voznesensky@yandex.ru

Аннотация.

В статье исследуется технология гибридного моделирования хаотических систем в форме синхронизации цифровой и аналоговой моделей системы Рёсслера, взаимодействующих через тракты аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования. Рассмотрены однонаправленный и двунаправленный варианты хаотической синхронизации, проведена оценка погрешности синхронизации для каждого из указанных случаев. Для аналоговой реализации системы Рёсслера разработана схема на основе операционных усилителей, умножителей и прецизионных пассивных элементов. Цифровая модель системы основана на полунеявном аппаратно-ориентированном методе численного интегрирования второго порядка алгебраической точности. С целью обоснования выбора метода приведены графики производительности различных решателей обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании системы Рёсслера. Показано, что выбранный полунеявный метод численного интегрирования обладает наибольшей вычислительной эффективностью среди всех методов второго порядка. Экспериментально продемонстрирована возможность синхронизации аналоговой и цифровой моделей хаотической системы. Рассмотрена синхронизация двух и трех моделей системы Рёсслера в различных вариантах топологии соединения. Путем анализа ошибки синхронизации показано, что наибольшая точность достигается при использовании полностью связанной топологии, которая основана на двунаправленном способе синхронизации трёх моделей системы Рёсслера.

Ключевые слова: цифровая модель, система Рёсслера, цифро-аналоговое преобразование, полунеявный метод, гибридная модель, нелинейная динамика, хаос, аналоговая модель, хаотические системы, хаотическая синхронизация

DOI:

10.7256/2454-0714.2018.4.27828

Дата направления в редакцию:

12-11-2018


Дата рецензирования:

01-11-2018


Дата публикации:

14-11-2018


Работа выполнена в СПбГЭТУ «ЛЭТИ» при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках договора № 02.G25.31.0149 от 01.12.2015 г.

Keywords:

Rossler system, digital-to-analog conversion, hybrid model, chaos, semi-implicit method, nonlinear dynamics, digital model, chaotic systems, chaotic synchronization, analog model

Введение

Явление хаотической синхронизации применяется в различных областях техники, таких как безопасность и телекоммуникации [1-2], нелинейное управление и обработка сигналов [3-4], локационные системы и др. Во всех указанных приложениях требуются генераторы хаотических сигналов с заданными свойствами. Преимущества использования цифровых вычислительных устройств при решении таких задач очевидны: они обеспечивают стабильность параметров генерируемых хаотических сигналов, большей точностью по сравнению с аналоговыми устройствами, простотой реконфигурации и малым энергопотреблением. В то же время, численное моделирование хаотических систем связано с определёнными сложностями: точность задания параметров системы и свойства применяемого численного метода оказывают решающее влияние на адекватность моделирующей системы [5-7]. До сих пор численное моделирование хаотических дифференциальных уравнений на продолжительных интервалах времени остаётся нетривиальной задачей [8]. Отдельным пунктом можно отметить требование к устойчивости дискретных генераторов к квазихаотическим режимам колебаний. Ответом на данную проблему могла бы стать гибридная архитектура генераторов, полученная путем синхронизации аналоговых и цифровых моделей хаотических систем, однако будет ли такая структура обладать достаточной точностью для практического применения?

Возможность подобной синхронизации открывает широкие перспективы создания основанных на хаотических системах передатчиков, сенсоров, локаторов и т.д., более чувствительных и избирательных благодаря особым свойствам детерминированного хаоса. Для обнаружения определённого значения физической величины в них используется аналоговая хаотическая система, а цифровая рассматривается в качестве опорной с изменяющимся параметром, по которому определяется значение физической величины. При достижении синхронизации значение изменяющегося параметра может быть использовано для получения значения рассматриваемой физической величины. Как упоминалось выше, цифро-аналоговая синхронизация также позволит избежать возникновения квазихаотического режима при долгосрочном моделировании.

Большинство исследователей ориентируются в первую очередь на математическое моделирование в инструментальных пакетах или физическую реализацию хаотических систем в виде аналоговых схем. Взаимодействие же цифровых и аналоговых моделей хаотических систем до сих пор не было рассмотрено в полном объеме. Одна из целей нашего исследования - восполнить этот пробел.

Синхронизация моделей системы Рёсслера

Осциллятор Рёсслера описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(1)

1_01

Хаотическое поведение системы традиционно наблюдается при следующих параметрах: a = 0.2, b = 0.2, c = 5, d = 2 (см. рис. 1). Параметр d введён для сохранения значения переменных состояния в диапазоне [-10V; 10V], необходимого для корректной работы используемого нами цифрового осциллографа.

1

Рис. 1. Аттрактор системы (1) в фазовом пространстве

Синхронизация двух осцилляторов Рёсслера производится по переменной x при помощи константы k [9]. Могут быть использованы два вида соединения: однонаправленное и двунаправленное. Во втором случае, связанные осцилляторы описываются системой уравнений:

(2)

2_01

В случае однонаправленного соединения уравнение переменной x2 не содержит члена k(x1-x2) .

Общая схема цепи аналоговой модели приведена на рис. 2. В ходе экспериментов были рассмотрены схемы на основе нескольких моделей операционных усилителей. Результаты, полученные с использованием операционных уселителей (ОУ) моделей TL064, LM324, LF444, MC3307 заметно отличаются от результатов моделирования, поэтому они были отброшены как недостаточно адекватные. При использовании прецизионных ОУ OPA2277 и OPA4134 были получены корректные результаты, поэтому было принято решение использовать их в дальнейших экспериментах. Моделирование проводилось при шаге интегрирования τ=1 мс, значение k было принято равным k = 1.

2

Рис. 2. Аналоговая реализация двух осцилляторов Рёсслера с двунаправленным соединением

На рис. 3 приведены фазовые портреты переменных состояния двух синхронизированных аналоговых моделей системы Рёсслера. Траектории синхронизированных систем близки, их разница составляет менее 4%. В данном эксперименте допустимое отклонение номиналов резисторов и конденсаторов составляло ±1%. Большая точность синхронизации может быть достигнута путём применения прецизионных пассивных элементов.

3

Рис. 3. Фазовые портреты двух синхронизированных аналоговых систем на интервале времени равном 50 с, в случае однонаправленной (слева) и двунаправленной (справа) синхронизации

4

Рис. 4. Ошибка синхронизации в случае однонаправленного (слева) и двунаправленного (справа) соединения двух аналоговых моделей системы Рёсслера

Усреднённое среднеквадратическое отклонение (СКО) по переменным состояния составило 2.1 % для однонаправленной синхронизации и 1.9 % для двунаправленной (рис. 4).

Цифровая модель системы Рёсслера

Для реализации цифрового решения системы (1) в нашей работе мы использовали полунеявный метод КД [10]. Он представляет собой симметричный метод численного интегрирования второго порядка точности, обладающий относительно малыми вычислительными затратами при большей точности и устойчивости, чем у явных методов. Методы данного класса также хорошо подходят для аппаратной реализации вычислений с фиксированной точкой и задач моделирования в реальном времени, что объясняется лёгкостью масштабировании вычислительных схем, полученных на их основе и минимальным числом используемых арифметических операций [11]. Алгоритм решения задачи (1) методом КД можно записать следующим образом:

3_01

` `

Следует отметить, что размер подшага h здесь соотносится с глобальным шагом интегрирования H, как h = Н/2. На рис.5 приведено сравнение производительности различных решателей ОДУ 2-го порядка при решении задачи (1). Моделирование производилось на интервале времени, равном 50 с. для десяти значений постоянного шага интегрирования. Исследовались наиболее известные одношаговые алгоритмы численного интегрирования второго порядка точности: метод явной средней точки (Explicit Midpoint), его модификация со сглаживающим шагом Грэгга (Gregg-Bulirsch-Stoer) и метод неявной средней точки в его линейно-неявной модификации (Implicit Midpoint).

5

Рис. 5. График производительности различных решателей ОДУ 2-го порядка

Можно заметить, что метод КД при моделировании одиночной системы Рёсслера обладает лучшей производительностью, чем все рассмотренные аналоги, в том числе популярный метод Грэгга-Булирша-Штёра [4]. Добавим в правую часть системы член синхронизации вида k(xn-sync) :

4_01

Значение переменной sync равно значению в данной точке сигнала синхронизации, полученного от другой цифровой системы, или в случае гибридного моделирования, через аналого-цифровой преобразователь (АЦП) с аналоговой модели системы. В случае синхронизации двух цифровых систем, основанных на эквивалентных конечно-разностных схемах, ошибка синхронизации быстро уменьшается до уровня вычислительной погрешности, как в случае однонаправленной синхронизации, так и в случае двунаправленной (рис. 6).

6

Рис. 6. Ошибка синхронизации при однонаправленной и двунаправленной синхронизации двух эквивалентных дискретных моделей системы Рёсслера

В случае неэквивалентности дискретных моделей полная синхронизация не может быть достигнута. Эта особенность может использоваться при решении задачи идентификации систем, или атак на криптосистемы, основанные на хаотических генераторах псевдослучайных чисел.

Гибридное моделирование осциллятора Рёсслера посредством синхронизации аналоговой и дискретной моделей

В экспериментальных исследованиях цифро-аналоговой синхронизации мы использовали уже описанные ранее аналоговые схемы (рис. 2). Для организации синхросвязи исследуемая схема подключалась к цифровой плате сбора данных NI DAQ 6251, оснащенной многоканальными быстродействующими АЦП и цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП) с разрядностью 16 бит. Обработка данных и выдача синхронизирующего сигнала с частотой 20 кГц осуществлялась программным обеспечением, запущенным на персональном компьютере в среде NI LabVIEW 2017.

7

Рис. 7. Ошибка синхронизации при однонаправленной (слева) и двунаправленной (справа) синхронизации цифровой и аналоговой модели системы Рёсслера. Усреднённое СКО по переменным состояния составило 1.4 % и 0.6 % соответственно

На рисунке 7 показана экспериментальная оценка ошибка синхронизации при гибридном способе моделирования. Интересным результатом можно назвать то, что в случае однонаправленной синхронизации цифровой и аналоговой модели удалось получить большую точность, чем при двунаправленной синхронизации двух аналоговых моделей. Однако для этого пришлось провести тонкую настройку некоторых параметров: наилучшая точность была достигнута с использованием параметра cd в цифровой модели немного отличающейся от c = 5 в уравнении (1). Кроме того, был использован шаг моделирования h = 4,95∙10-5 вместо теоретически рассчитанного шага h = 5∙10-5. Данные модификации, очевидно, связаны с несовершенством компонентов аналоговой схемы и погрешностями АЦП.

Полученное усреднённое СКО для двунаправленной синхронизации составило 0,6 %, что в 3 раза меньше, чем в случае синхронизации двух аналоговых систем (1,9 %). Причиной такого результата является возможность более точной настройки параметров дискретной системы.

На рис. 8 показаны аттракторы синхронизированных цифровой и аналоговой системы Рёсслера. Хаотические орбиты систем в фазовом пространстве визуально накладываются. В общем случае, при разнице в параметрах связанных систем их поведение изменяется при любом типе синхронизации и может заметным образом отличаться от поведения одиночной системы.

8

Рис. 8. Фазовый портрет синхронизированной пары систем Рёсслера при гибридном моделировании

Следующим рассматриваемым случаем является синхронизация трёх систем. При подобном типе синхронизации возможна различная топология соединения. Общий вид топологий, рассмотренных в работе, приведен на рис. 9. Получаемые системы уравнений зависят от конкретной выбранной топологии. Структура типа «цепь» может быть описана следующим образом:

(3)

5_01

где xd , yd , zd – переменные состояния дискретной системы, а аналогичные переменные с числовыми индексами – переменные состояния двух аналоговых систем.

Результаты экспериментального исследования приведены на рис. 10 и рис. 11. Из диаграммы видно, что полностью связанная топология позволяет получить наибольшую точность синхронизации. Значения погрешности синхронизации, полученные для аналоговых цепей 1 и 2, не превышали 1 %. Параметры цифровой системы могут быть настроены таким образом, чтобы получить максимально точную синхронизацию с одной из этих двух систем. При этом повышение точности синхронизации с одной системой, снижает точность синхронизации с другой, поскольку отклонения в номиналах схемных элементах у них могут быть различны как по величине, так и по знаку. В данной работе для тонкой настройки параметров дискретной модели выбиралась только одна аналоговая модель системы Рёсслера, фигурирующая далее как «Аналоговая система 2».

9

Рис. 9. Различные топологии синхронизации хаотических систем: a) топология «цепь» b) топология «кольцо» c) топология «кольцо-цепь» d) полносвязная топология

10_01

Рис. 10. Ошибка синхронизации трёх связанных моделей системы Рёсслера, усреднённая по всем переменным состояния

11_01

Рис. 11. Ошибка синхронизации трёх связанных систем, усреднённая по синхронизирующей переменной

В случае полносвязной топологии ошибка между аналоговыми системами минимальна, так как обе они синхронизированы с одной цифровой системой. Двунаправленная топология типа «кольцо-цепь» не позволяет достичь таких результатов. Средняя ошибка синхронизации в ней составляет примерно 2 %, что превышает ошибку, полученную при синхронизации двух систем. Однако полученный результат может быть улучшен путём более тщательного подбора аналоговых элементов и использования цифровой системы, работающей в режиме реального времени. На рис. 12 показан график реальных значений частот выборки сигнала, полученный в ходе одного из экспериментов. Можно видеть, что отклонение частоты дискретизации от заданной достигает 8 %. Подобное явление связано с особенностями работы операционной системы Windows.

12

Рис. 12. Колебания частоты дискретизации системы DAQ под управлением операционной системы Windows

Заключение

В работе была экспериментально показана возможность синхронизации аналоговой и дискретной моделей хаотических осцилляторов Рёсслера. После настройки параметров численной модели, средняя приведённая погрешность синхронизации в гибридной модели достигла значений в несколько раз меньших, чем в случае синхронизации двух аналоговых систем. В случае двунаправленного соединения это значение составляет 0,6 % и 1,9 %, соответственно.

Экспериментально исследованы различные топологии соединения при синхронизации трёх различных систем. Показано, что наибольшая точность синхронизации получается при использовании полносвязной топологии. Несовершенство аналоговых элементов, колебания частоты дискретизации и эффекты квантования сигналов в трактах ЦАП и АЦП влияют на точность синхронизации, поэтому точность синхронизации трёх систем обычно ниже, чем в случае синхронизации двух систем. Минимальная ошибка синхронизации трёх систем в данном исследовании составила 2 %.

Дальнейшие исследования будут направлены на поиск путей повышения точности синхронизации нескольких хаотических систем, подробному изучению особенностей синхронизации цифровых и аналоговых моделей, а также созданию технических решений, использующих гибридный принцип моделирования хаотических систем.

Библиография
1.
Короновский А. А., Москаленко О. И., Храмов А. Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации //Успехи физических наук. - 2009. - vol. 179. - №. 12. - С. 1281–1310.
2.
Akgul A., Kacar S., Pehlivan I. An Audio Data Encryption with Single and Double Dimension Discrete-Time Chaotic Systems // The Online Journal of Science and Technology. - 2015. - vol. 5.I. - pp. 13–23.
3.
Idowu B.A., Vincent U.E., Njah A.N. Control and Synchronization of Chaos in Nonlinear Gyros via Backstepping Design //ISSN International Journal of Nonlinear Science. - 2008. - vol. 5. - N 1. - pp. 1749–3889.
4.
Hegazi A.S., Agiza H.N., El-Dessoky M.M. Adaptive Synchronization for Rossler and Chua’s Circuit Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2002. - vol. 12. - N 7. - pp. 1579–1597. DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S0218127402005388.
5.
Hammel S.M., Yorke J.A., Grebogi C. Do numerical orbits of chaotic dynamical processes represent true orbits? // Journal of Complexity. - 1987. - vol. 3. - N 2. - pp. 136–145. DOI: 10.1016/0885-064X(87)90024-0
6.
Каримов Т. И., Бутусов Д. Н., Каримов А. И. Сравнение аналогового и численного способов моделирования хаотических систем // Сборник докладов XVIII Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2015). СПб. Изд. СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015. - Т. 1. - С. 252–256
7.
Liao S. J., Wang P. F. On the mathematically reliable long-term simulation of chaotic solutions of Lorenz equation in the interval [0, 10000] //Science China Physics, Mechanics and Astronomy. – 2014. – vol. 57. – №. 2. – pp. 330-335. DOI: 10.1007/s11433-013-5375-z
8.
Sarra S.A., Meador C. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - 2011. - vol. 16. - N 3. - pp. 340–352.
9.
Buscarino A., Frasca M., Branciforte M., Fortuna L. Synchronization of two Rossler systems with switching coupling // arXiv: 1507.01992, 2015. DOI: 10.1007/s11071-016-3269-0
10.
Бутусов Д.Н., Каримов А.И., Каримов Т.И. Аппаратно-ориентированные численные методы интегрирования. СПб. Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. 192 c.
11.
Butusov D.N., Karimov A.I., Tutueva A.V. Hardware-targeted semi-implicit extrapolation ODE solvers // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), 2016. Art. no. 7491741. DOI: 10.1109 / SIBCON.2016.7491741
References (transliterated)
1.
Koronovskii A. A., Moskalenko O. I., Khramov A. E. O primenenii khaoticheskoi sinkhronizatsii dlya skrytoi peredachi informatsii //Uspekhi fizicheskikh nauk. - 2009. - vol. 179. - №. 12. - S. 1281–1310.
2.
Akgul A., Kacar S., Pehlivan I. An Audio Data Encryption with Single and Double Dimension Discrete-Time Chaotic Systems // The Online Journal of Science and Technology. - 2015. - vol. 5.I. - pp. 13–23.
3.
Idowu B.A., Vincent U.E., Njah A.N. Control and Synchronization of Chaos in Nonlinear Gyros via Backstepping Design //ISSN International Journal of Nonlinear Science. - 2008. - vol. 5. - N 1. - pp. 1749–3889.
4.
Hegazi A.S., Agiza H.N., El-Dessoky M.M. Adaptive Synchronization for Rossler and Chua’s Circuit Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2002. - vol. 12. - N 7. - pp. 1579–1597. DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S0218127402005388.
5.
Hammel S.M., Yorke J.A., Grebogi C. Do numerical orbits of chaotic dynamical processes represent true orbits? // Journal of Complexity. - 1987. - vol. 3. - N 2. - pp. 136–145. DOI: 10.1016/0885-064X(87)90024-0
6.
Karimov T. I., Butusov D. N., Karimov A. I. Sravnenie analogovogo i chislennogo sposobov modelirovaniya khaoticheskikh sistem // Sbornik dokladov XVIII Mezhdunarodnoi konferentsii po myagkim vychisleniyam i izmereniyam (SCM-2015). SPb. Izd. SPbGETU «LETI», 2015. - T. 1. - S. 252–256
7.
Liao S. J., Wang P. F. On the mathematically reliable long-term simulation of chaotic solutions of Lorenz equation in the interval [0, 10000] //Science China Physics, Mechanics and Astronomy. – 2014. – vol. 57. – №. 2. – pp. 330-335. DOI: 10.1007/s11433-013-5375-z
8.
Sarra S.A., Meador C. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - 2011. - vol. 16. - N 3. - pp. 340–352.
9.
Buscarino A., Frasca M., Branciforte M., Fortuna L. Synchronization of two Rossler systems with switching coupling // arXiv: 1507.01992, 2015. DOI: 10.1007/s11071-016-3269-0
10.
Butusov D.N., Karimov A.I., Karimov T.I. Apparatno-orientirovannye chislennye metody integrirovaniya. SPb. Izd-vo SPbGETU «LETI», 2016. 192 c.
11.
Butusov D.N., Karimov A.I., Tutueva A.V. Hardware-targeted semi-implicit extrapolation ODE solvers // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), 2016. Art. no. 7491741. DOI: 10.1109 / SIBCON.2016.7491741