Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 2004,   статей на доработке: 341 отклонено статей: 792 
Библиотека
Статьи и журналы | Тарифы | Оплата | Ваш профиль

Вернуться к содержанию

Построение и исследование модели фильтрации суспензии в пористом грунте
Горбунова Татьяна Николаевна

кандидат технических наук

доцент, Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ)

107023, Россия, г. Москва, ул. Б. Семёновская, 38, оф. 4603

Gorbunova Tatiana Nikolaevna

PhD in Technical Science

associate professor of the Department of Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering, Department of Information Systems and Technolologies, Moscow Polytechnic University

107023, Russia, g. Moscow, ul. B.semenovskaya, 38, of. 4603

tngorbunova@yandex.ru
Другие публикации этого автора
 

 

Аннотация.

Предметом исследования являются задача фильтрации, которая описывает распределение взвеси твердых частиц в рыхлом пористом грунте. Актуальность построения модели определяется необходимостью укрепления рыхлого грунта закачиванием под давлением раствора в виде суспензии, который при твердении образует водонепроницаемый слой. Основной целью работы автор определяет построение модели движения взвешенных частиц суспензии и коллоидов и образования осадка в пористом грунте для различных режимов фильтрации. Исследуются распределения твердых частиц различных размеров, переносимых жидкостью-носителем и осевших на каркасе пористой среды, при различной скорости роста осадка. Модель одномерной фильтрации с механизмом удерживания частиц включает гиперболическую систему уравнений первого порядка с несогласованными начальными и граничными условиями, порождающими разрывные решения. Для полидисперсных сред рассматривается модифицированная математическая модель, описывающая конкуренцию частиц различных размеров за малые поры. Вычислительная схема для нахождения численного решения строится методом конечных разностей. Используется оптимизация метода для улучшения сходимости и сокращения времени вычислений. Основными результатами проведенного исследования является многочастичная модель фильтрации раствора в пористом грунте, учитывающая разнообразие размеров взвешенных частиц. Выполнен численный расчет задачи для различных блокирующих коэффициентов фильтрации. Получены решения с разрывом на фронте концентраций. Проведена апробация найденных численных решений. Построены графики зависимости концентраций взвешенных и осажденных частиц от времени и координаты.

Ключевые слова: разрывные решения, конечно-разностные методы, численное решение, математическая модель, взвешенные частицы, пористая среда, фильтрация, раствор, осажденные частицы, метод Эйлера

DOI:

10.7256/2454-0714.2018.1.25458

Дата направления в редакцию:

16-02-2018


Дата рецензирования:

23-02-2018


Дата публикации:

21-03-2018


Abstract.

The subject of the study is the filtration problem, which describes the distribution of suspended solids in a loose porous soil. The urgency of constructing a model is determined by the need to strengthen loose soil by pumping under pressure a solution in the form of a suspension that, when hardened, forms a waterproof layer. The author's main goal is to construct a model for the motion of suspended particles of a suspension and colloids and to form a sediment in a porous ground for various filtration regimes. The distributions of solid particles of various sizes carried by the carrier liquid and settled on the framework of the porous medium are studied at different rates of precipitate growth.The one-dimensional filtration model with the particle retention mechanism includes a hyperbolic system of first-order equations with inconsistent initial and boundary conditions that generate discontinuous solutions. For polydisperse media, a modified mathematical model describing the competition of particles of different sizes for small pores is considered. The computer circuit for finding the numerical solution is constructed by the method of finite differences. The optimization of the method is used to improve convergence and reduce computation time. The main results of the study are a multi-particle model of solution filtration in a porous soil, taking into account the variety of sizes of suspended particles. A numerical calculation of the problem is performed for various blocking filter coefficients. Solutions are obtained with a discontinuity at the concentration front. Approbation of the found numerical solutions is carried out. Plots of the dependence of the concentrations of suspended and sedimented particles on time and coordinates are constructed.

Keywords:

finite-difference methods, numerical solution, mathematical model, suspended particles, porous medium, deep bed filtration, grout, discontinuous solutions, retained particles, Euler's method

Введение

При строительстве зданий и сооружений на непрочном грунте необходимо укрепить грунт и создать прочный фундамент. Строительство подземных сооружений, туннелей, хранилищ опасных химических и радиоактивных отходов требует создания надежной защиты от грунтовых и паводковых вод. Для укрепления фундаментов и создания водонепроницаемых стен в непрочный пористый грунт под давлением закачивается жидкий укрепляющий раствор (укрепитель). Раствор заполняет поры грунта и при застывании создает водонепроницаемый слой, укрепляя фундамент [1, 2].

Целью работы является моделирование движения взвешенных частиц суспензии и коллоидов и образования осадка в пористом грунте для различных режимов фильтрации. Исследуются распределения твердых частиц различных размеров, переносимых жидкостью-носителем и осевших на каркасе пористой среды, при различной скорости роста осадка.

Фильтрация суспензий и коллоидов в пористой среде - сложный физико-химический процесс, определяющий перенос частиц и образование осадка на скелете пористой среды. В зависимости от типа раствора и пористой среды на фильтрацию в большей или меньшей степени влияют электрические и гравитационные силы, диффузия, вязкость и т.д. Если распределения размеров частиц и пор перекрываются, а укрепитель и грунт не вступают в химическое взаимодействие, то основной причиной осаждения частиц является механизмы удерживания частиц [3, 4]. Взвешенные частицы могут свободно проходить через крупные поры и задерживаются на входе пор с диаметром меньшим размера частиц.

Для описания распространения взвеси одинаковых твердых частиц в рыхлом грунте используется одномерная математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в пористой среде [5-7]. Модель включает гиперболическую систему уравнений первого порядка с несогласованными начальными и граничными условиями, порождающими разрывные решения. В настоящей работе рассматривается модифицированная математическая модель для полидисперсных сред, описывающая конкуренцию частиц различных размеров за малые поры. Частицы каждого размера подчиняются классическим уравнениям фильтрации монодисперсной суспензии; взаимодействие частиц различных размеров обеспечивают коэффициенты фильтрации, зависящие от полного осадка [8, 9].

В работе выполнен численный расчет задачи фильтрации полидисперсной суспензии в пористой среде для различных коэффициентов фильтрации. Вычислительная схема построена на основе метода конечных разностей [10]. Получены решения с разрывом на фронте концентраций взвешенных и осажденных частиц. Проведена апробация вычислительного метода и найденных численных решений.

В разделе 2 строится математическая модель фильтрации раствора с твердыми частицами разных размеров в пористой среде. Раздел 3 посвящен методам численного решения задачи. В разделе 4 приведены результаты численных расчетов. Дискуссия и Выводы в разделах 5 и 6 завершают работу.

Математическая модель

Безразмерные уравнения одномерной фильтрации рассматриваются в бесконечной полуполосе , неизвестными являются объемные концентрации взвешенных Ci (x , t )и осажденных частиц Si (x , t ). Уравнение переноса описывает баланс масс взвешенных и осажденных частиц; уравнение кинетической скорости определяет рост осадка.

(1)

, i =1,…n (2)

с краевым и начальными условиями

x =0: Ci (x,t )=p i, p i> 0 (3)

t =0: Ci (x,t )=0, Si (x,t )=0 (4)

Здесь S общий осадок S =S 1+S 2+…+S n; функции ; i =1,…,n непрерывны и положительны.

Функции называются коэффициентами фильтрации. Они определяются экспериментально. Если имеет положительный корень SM , то коэффициент фильтрации называется блокирующими. SM является предельным максимальным полным осадком, соответствующим запиранию всех малых пор пористой среды.

Несогласованность условий (3) и (4) в начале координат порождает разрыв решения. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц движется с постоянной скоростью v =1 и делит область на две подобласти

и . В области система (1) – (4) имеет нулевое решение; в области решение положительно. Поскольку не согласованы условия для концентрации взвешенных частиц, то решение Ci (x , t ) имеет сильный разрыв (скачок) на фронте концентраций — характеристической прямой t = x . Решение Si (x , t ) непрерывно в и имеет слабый разрыв на фронте концентраций (скачок производных).

Уравнения (1), (2) образуют квазилинейную гиперболическую систему уравнений первого порядка.

Схематическое изображение решения представленной модели показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема решения задачи (1)–(4).

Методы

Нелинейные модели фильтрации лишь в отдельных случаях допускают точные аналитические решения [11-13]. При отсутствии точных решений можно строить асимптотику [14-16]. Большинство задач не имеют аналитических решений, в этих случаях необходимо использовать численные методы [17-19].

Особенностью данной задачи является наличие разрывных начально-краевых условий, что приводит к трудностям в получении приемлемых решений вблизи линии разрыва – фронта концентраций. Как правило, многие вычислительные методы дают хорошие результаты для гладких решений и неприменимы в окрестности разрывов и зон быстрых осцилляций.

Для численного решения представленной модели использовались вычислительные схемы на основе метода конечных разностей. Наложим на исследуемую область сетку с постоянным нагом h по длине фильтра х и τ – шаг сетки по времени t . Соотношение между шагом τ по времени и шагом h по координате x выбирается из условия сходимости Куранта: .

Для решения уравнения (2) был использован модифицированный метод Эйлера, где предиктор -разность «вперед» для половинного шага по времени, корректор -также разность «вперед» уже с учетом полученного предиктора и по всему шагу по времени [20].

Было исследовано несколько точечных схем, показанных на рисунке 2.

Рис. 2. Шаблоны вычислительных схем метода конечных разностей.

Исследование поведения этих схем и сравнение численных расчетов с точным решением для известных случаев, позволило установить, что схема b, показавшая сходимость порядка шага сетки, является оптимальной для данной модели.

Численный расчет

Шаги по времени и координате выбраны равными 0.001. Расчеты проводились для значений времени t = 0 и t =5. Выбраны квадратичные убывающие блокирующие коэффициенты фильтрации с общим корнем SM =1. Рассмотрены два случая.

1. Коэффициенты фильтрации

a)

b)

Рис. 3. Концентрации частичных осадков и полного осадка

a) на входе пористой среды x =0; b) распределение осадков в пористой среде при t =5.

a)

b)

Рис. 4. a) Концентрации на выходе пористой среды x =1

a) частичных осадков и полного осадка; b) взвешенных частиц двух размеров.

2. Коэффициенты фильтрации

a)

b)

Рис. 5. Концентрации частичных осадков и полного осадка

a) на входе пористой среды x =0; b) распределение осадков в пористой среде при t =5.

a)

b)

Рис. 6. a) Концентрации на выходе пористой среды x =1

a) частичных осадков и полного осадка; b) взвешенных частиц двух размеров.

На практике интерес представляет расчет решения на выходе пористой среды x =1, где его можно сравнить с экспериментальными данными. На рис. 4, 6 показаны излом концентрации S осажденных частиц и разрыв концентрации C взвешенных частиц на фронте концентраций.

Дискуссия

В работе рассчитана сложная нелинейная модель фильтрации, не имеющая аналитического решения. В таких случаях для выбора численного метода, как правило, рассматривается модель, имеющая аналитическое решение. Численные решения, полученные разными методами, сравнивают с точным решением, и выбирают наилучшее.

Однако не всегда метод, подходящий для простого примера, применим для сложной модели. В задачах фильтрации для апробации выбранного численного метода можно использовать аналитические свойства решений, следующие из физического смысла глубокой фильтрации. Поскольку процесс фильтрации начинается от входа пористой среды x =0, то решения Ci (x , t ); S (x , t ) монотонно убывают по x при фиксированном t . В заданной точке пористой среды осадок растет, при этом процесс фильтрации замедляется, и концентрация взвешенных частиц растет. Таким образом, решения Ci (x , t ); S (x , t ) монотонно возрастают по t при фиксированном x .

Рисунки 3-6 показывают, что численное решение обладает необходимыми свойствами монотонности и с ростом времени стремится к максимальным предельным значениям С Mi =pi ; SM =1. Это позволяет сделать вывод о приемлемости выбранного численного метода и адекватности полученного решения.

Заключение

Предложена математическая модель фильтрации полидисперсных суспензий и коллоидов в пористой среде с удерживающим механизмом, описывающая конкуренцию частиц различных размеров за малые поры.

Численное решение задачи найдено вычислительным методом на основе метода конечных разностей. Представленная явно-неявная трехточечная схема сохраняет монотонность, переводя монотонно возрастающее решение с предыдущего временного слоя на последующий с тем же направлением изменения, а также показывает приемлемый порядок сходимости. Получены решения с разрывом на фронте концентраций. Проведена апробация разработанного численного метода.

Новая модель переноса частиц разных размеров в пористой среде позволяет исследовать динамику проникновения раствора в рыхлом грунте.

Построенные вычислительные конечно-разностные схемы позволяют находить решение сложных систем уравнений с хорошей точностью при умеренном объеме вычислений.

Библиография
1.
Yoon J., Mohtar El C.S. Groutability of Granular Soils Using Bentonite Grout Based on Filtration Model // Transp Porous Med. 2014. 102(3) pp. 365-385.
2.
Shucai Li, Rentai Liu, Qingsong Zhang, Xiao Zhang Protection against water or mud inrush in tunnels by grouting: a review // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. 2016. 8 pp. 753-766.
3.
Bedrikovetsky P.G. Upscaling of Stochastic Micro Model for Suspension Transport in Porous Media // Transport in Porous Media. 2008. 75 pp. 335–369.
4.
You Z., Badalyan A., Bedrikovetsky P. Size-exclusion colloidal transport in porous media – stochastic modeling and experimental study. // SPE Journal. 2013. 18. pp. 620–633.
5.
Vyazmina E.A., Bedrikovetsky P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer. // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. 41(5). pp. 556–564.
6.
You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration. // Chemical Engineering Journal. 2014. 258. pp. 374-385.
7.
Herzig J.P., Leclerc D.M., le Goff P. Flow of suspensions through porous media—application to deep filtration. // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. 62(8). pp. 8–35.
8.
Osipov Yu. Calculation of the filtration of polydisperse suspension with a small rate. // Matec Web of Conferences. 2017, vol. 117, 00131, 6 p
9.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V., Galaguz Y.P. A model of two-velocity particles transport in a porous medium. // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. 93. pp. 1–6.
10.
E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3 ed., Springer, Dordrecht, 2009.
11.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Filtration model of the unsteady suspension flow in a porous medium. // Matec Web of Conferences. 2017. v. 117, 00097
12.
You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media. // Abstract and Applied Analysis. 2013. pp. 1–9.
13.
Bedrikovetsky P., You Z., Badalyan A., Osipov Yu., Kuzmina L. Analytical model for straining-dominant large-retention depth filtration. // Chemical Engineering Journal. 2017. 330. pp.1148–1159.
14.
Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Асимптотика задачи фильтрации суспензии в пористой среде. // Вестник МГСУ. 2015. №1. pp. 54-62
15.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Asymptotics of a particles transport problem. // Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2017. 11. pp. 1278-1283.
16.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Asymptotic Solution For Deep Bed Filtration With Small Deposit. // Procedia Engineering. 2015. 111. pp.491–494.
17.
Galaguz Y., Safina G. Calculation of the filtration in a heterogeneous porous medium. // Matec Web of Conferences. 2017. vol. 117, 00052, 6 p.
18.
Galaguz Y., Safina G.. Modeling of Fine Migration in a Porous Medium. // MATEC Web of Conferences. 2016. vol. 86, 03003.
19.
Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of Particle Filtration in a Porous Medium with Changing Flow Direction. // Procedia Engineering. 2016. 153. pp.157–161.
20.
Галагуз Ю П. Реализация TVD-схемы численного решения задачи фильтрации. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. 13(2). pp. 93-102.
References (transliterated)
1.
Yoon J., Mohtar El C.S. Groutability of Granular Soils Using Bentonite Grout Based on Filtration Model // Transp Porous Med. 2014. 102(3) pp. 365-385.
2.
Shucai Li, Rentai Liu, Qingsong Zhang, Xiao Zhang Protection against water or mud inrush in tunnels by grouting: a review // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. 2016. 8 pp. 753-766.
3.
Bedrikovetsky P.G. Upscaling of Stochastic Micro Model for Suspension Transport in Porous Media // Transport in Porous Media. 2008. 75 pp. 335–369.
4.
You Z., Badalyan A., Bedrikovetsky P. Size-exclusion colloidal transport in porous media – stochastic modeling and experimental study. // SPE Journal. 2013. 18. pp. 620–633.
5.
Vyazmina E.A., Bedrikovetsky P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer. // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. 41(5). pp. 556–564.
6.
You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration. // Chemical Engineering Journal. 2014. 258. pp. 374-385.
7.
Herzig J.P., Leclerc D.M., le Goff P. Flow of suspensions through porous media—application to deep filtration. // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. 62(8). pp. 8–35.
8.
Osipov Yu. Calculation of the filtration of polydisperse suspension with a small rate. // Matec Web of Conferences. 2017, vol. 117, 00131, 6 p
9.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V., Galaguz Y.P. A model of two-velocity particles transport in a porous medium. // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. 93. pp. 1–6.
10.
E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3 ed., Springer, Dordrecht, 2009.
11.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Filtration model of the unsteady suspension flow in a porous medium. // Matec Web of Conferences. 2017. v. 117, 00097
12.
You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media. // Abstract and Applied Analysis. 2013. pp. 1–9.
13.
Bedrikovetsky P., You Z., Badalyan A., Osipov Yu., Kuzmina L. Analytical model for straining-dominant large-retention depth filtration. // Chemical Engineering Journal. 2017. 330. pp.1148–1159.
14.
Kuz'mina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika zadachi fil'tratsii suspenzii v poristoi srede. // Vestnik MGSU. 2015. №1. pp. 54-62
15.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Asymptotics of a particles transport problem. // Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2017. 11. pp. 1278-1283.
16.
Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Asymptotic Solution For Deep Bed Filtration With Small Deposit. // Procedia Engineering. 2015. 111. pp.491–494.
17.
Galaguz Y., Safina G. Calculation of the filtration in a heterogeneous porous medium. // Matec Web of Conferences. 2017. vol. 117, 00052, 6 p.
18.
Galaguz Y., Safina G.. Modeling of Fine Migration in a Porous Medium. // MATEC Web of Conferences. 2016. vol. 86, 03003.
19.
Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of Particle Filtration in a Porous Medium with Changing Flow Direction. // Procedia Engineering. 2016. 153. pp.157–161.
20.
Galaguz Yu P. Realizatsiya TVD-skhemy chislennogo resheniya zadachi fil'tratsii. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. 13(2). pp. 93-102.