Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 1999,   статей на доработке: 339 отклонено статей: 788 
Библиотека
Статьи и журналы | Тарифы | Оплата | Ваш профиль

Вернуться к содержанию

Выбор анализирующей вейвлет – функции для задачи поиска экстремумов биомедицинских сигналов
Гармаев Баир Заятуевич

кандидат физико-математических наук

научный сотрудник, ИФМ СО РАН

670000, Россия, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6, каб. 313

Garmaev Bair Zayatuevich

PhD in Physics and Mathematics

Researcher, Institute of Physical Materials Science, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

670000, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Sakh'yanovoi, 6, kab. 313

bair.garmaev@gmail.com
Бороноев Виталий Васильевич

доктор технических наук

заведующий лабораторией, Институт физического материаловедения СО РАН

670042, Россия, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6, каб. 316

Boronoev Vitalii Vasil'evich

Doctor of Technical Science

Head of Laboratory, Institute of Physical Materials Science, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

670042, Russia, Respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Sakh'yanovoi, 6, kab. 316

vboronojev2001@mail.ru

Аннотация.

Автор рассматривает проблему выбора вейвлета для применения его в непрерывном вейвлет преобразовании. Все преимущество вейвлет-анализа заключается в возможности выбора базиса среди большого количества вейвлетов. Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из исследуемого сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности, как во временном, так и в частотном пространстве. Поэтому с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала. Выбор анализирующей вейвлет-функции для создания базиса вейвлет-преобразования является одним из вопросов, успешность решения которой влияет на успешность использования вейвлет-анализа в решаемой задаче. Обход этого вопроса отталкивает начинающих в этой области исследователей от использования вейвлет-анализа или значительно ссужает область его применения. Выбор вейвлет-функции особенно важен при непрерывном вейвлет-преобразовании, где результат преобразования трехмерный непрерывный вейвлет-спектр. Это затрудняет его анализ, который зачастую ограничивается визуальным анализом проекции вейвлет-спектра на оси масштаб-время. Это также усложняет выбор вейвлет-функции, так как при смене вейвлета в проекции вейвлет-спектра иногда происходят многочисленные изменения неподдающиеся анализу.Цель данной работы показать методику обоснования выбора анализирующей вейвлет-функции для использования ее в непрерывном вейвлет-преобразовании на примере задачи локализации точек экстремумов цифрового сигнала. В работе используется непрерывное вейвлет-преобразование. Рассматриваются вейвлет-коэффициенты на разных масштабах для анализа изменений не на вейвлет-спектре в целом, а на отдельных ее частях. В предложенной методике показывается алгоритм анализа непрерывных вейвлет-спектров с разными вейвлет-функциями с целью оценки их пригодности для поиска экстремумов. Важным моментом в данной методики является переход с визуального анализа трехмерных вейвлет-спектров к количественному анализу двухмерных вейвлет-коэффициентов на разных масштабах. Такой переход показывает, как работает вейвлет-анализ внутри трехмерных вейвлет-спектров (анализируемых в основном визуально) и позволяет автоматизировать анализ сигналов. Это же позволяет уже численно оценить точность нахождения экстремумов при использовании конкретного вейвлета. В результате показано, что в задаче поиска экстремумов сигнала с помощью непрерывного вейвлет-анализа наиболее точным является вейвлет Хаара. Данную методику выбора базиса можно использовать в задачах, где возможна приемлемая количественная оценка точности работы непрерывного вейвлет-преобразования. Это позволит анализировать трехмерные вейвлет-спектры не только качественно (визуально), но и количественно.

Ключевые слова: вейвлет-анализ, вейвлет-функция, выбор базиса, поиск экстремумов, масштаб, пульсовой сигнал, моделирование, вейвлет Хаара, непрерывное вейвлет-преобразование, методика

DOI:

10.7256/2454-0714.2018.1.23239

Дата направления в редакцию:

05-06-2017


Дата рецензирования:

12-06-2017


Дата публикации:

21-03-2018


Abstract.

The authors consider the problem of choosing a wavelet for its application in a continuous wavelet transformation. The whole advantage of wavelet analysis lies in the possibility of choosing a basis among a large number of wavelets. The choice of the analyzing wavelet is usually determined by what information needs to be extracted from the signal under study. Each wavelet has characteristic features, both in time and in frequency space. Therefore, with the help of different wavelets, it is possible to reveal more fully and emphasize certain properties of the analyzed signal. The choice of the analyzing wavelet function for creating a basis for wavelet transform is one of the issues whose successful solution affects the success of using wavelet analysis in the problem being solved. Bypassing this question repels the beginners in this field of researchers from using wavelet analysis or significantly lends the field of its application. The choice of the wavelet function is especially important for a continuous wavelet transform, where the result of the transformation is a three-dimensional continuous wavelet spectrum. This makes it difficult to analyze it, which is often limited to a visual analysis of the projection of the wavelet spectrum on the scale-time axis. This also complicates the choice of the wavelet function, since when changing the wavelet in the projection of the wavelet spectrum, numerous changes that can not be analyzed sometimes occur.The purpose of this work is to show the method of substantiating the choice of the analyzing wavelet-function for its use in continuous wavelet transformation using the example of the problem of localizing the points of extrema of a digital signal. The work uses continuous wavelet transform. We consider wavelet coefficients on different scales for analyzing the changes not on the wavelet spectrum as a whole, but on its individual parts. The proposed technique shows an algorithm for analyzing continuous wavelet spectra with different wavelet functions in order to evaluate their suitability for searching for extrema. An important point in this technique is the transition from a visual analysis of three-dimensional wavelet spectra to a quantitative analysis of two-dimensional wavelet coefficients on different scales. Such a transition shows how the wavelet analysis works inside three-dimensional wavelet spectra (analyzed primarily visually) and automates signal analysis. This also allows us to numerically estimate the accuracy of finding extrema when using a particular wavelet. As a result, the article shows that the Haar wavelet is the most accurate in the problem of searching for signal extrema by means of continuous wavelet analysis.This method of choosing a basis can be used in problems where an acceptable quantitative estimate of the accuracy of the operation of a continuous wavelet transform is possible. This will allow the authors to analyze three-dimensional wavelet spectra not only qualitatively (visually), but also quantitatively.

Keywords:

arterial blood pressure signal, scale, extrema definition, basis selection, wavelet, wavelet analysis, modelling, wavelet Haar, continuous wavelet transform, method

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время широкое распространение для анализа нестационарных сигналов получили частотно-временные методы, например, вейвлет-анализ, дающие заметные преимущества по сравнению с классическим спектральным анализом и позволяющие получить временные локализации спектральных компонент сигнала. Все преимущество вейвлет-анализа заключается в возможности выбора базиса среди большого количества вейвлетов.

Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из исследуемого сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности, как во временном, так и в частотном пространстве. Поэтому с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала. Выбор анализирующей вейвлет-функции для создания базиса вейвлет-преобразования является одним из вопросов, успешность решения которой влияет на успешность использования вейвлет-анализа в решаемой задаче. Обход этого вопроса отталкивает начинающих в этой области исследователей от использования вейвлет-анализа или значительно ссужает область его применения. Неудачный выбор конкретной формы вейвлета может привести к невозможности решения задачи [1]. Универсальное ранжирование базисов и свойств вейвлет-преобразования по предпочтительности предположительно невозможно [2]. При этом в большинстве связанных с вейвлет-анализом публикаций базис либо априорно задан или критерии и обоснования выбора базиса остаются неописанными.

Выбор вейвлет-функции особенно важен при непрерывном вейвлет-преобразовании, где результат преобразования трехмерный непрерывный вейвлет-спектр. Это затрудняет его анализ, который зачастую ограничивается визуальным анализом проекции вейвлет-спектра на оси масштаб-время. Это также усложняет выбор вейвлет-функции, так как при смене вейвлета в проекции вейвлет-спектра иногда происходят многочисленные изменения неподдающиеся анализу. Основным свойством непрерывного вейвлет-преобразования является локальность и избыточность представления сигнала [5], что позволит более детально анализировать локальные особенности сигналов, что перспективно в задаче нахождения экстремумов в сигнале и экстремумов их производной при наличии шума. Особенно важна эта задача в анализе биомедицинских сигналов [6-8], где требуется идентификация физиологических событий на основе нахождения экстремумов сигнала. Так для корректного анализа временных параметров сигнала требуется выбрать вейвлет–функцию, акцентируя внимание на корректности передачи временной структуры сигнала и простоту ее интерпретации. Поэтому целесообразно найти вейвлет–функцию, которая максимально адекватно передает положения точек экстремумов сигнала и ее производной. Применение непрерывного вейвлет-спектра для поиска точек экстремума является нетипичной задачей, хотя является задачей локального частотно-временного анализа сигнала как и большинство решаемых вейвлет-анализом задач. Данное обоснование выбора анализирующего вейвлета может быть полезно для подобных задач в смежных областях применения [9].

Цель данной работы показать методику обоснования выбора анализирующей вейвлет-функции для использования ее в задаче локализации точек экстремумов цифрового сигнала.

ПРИМЕРЫ НЕУДАЧНОГО ВЫБОРА ВЕЙВЛЕТА

Для выбора вейвлетов были сравнены в действии разные вейвлеты на модельных сигналах. Уменьшая количество подходящих нам анализирующих вейвлетов, в результате анализа получим анализирующую вейвлет-функцию, которая наилучшим образом передает локальную структуру сигнала. Для этого исследовались вейвлет-спектры модельных сигналов и определялись погрешности нахождения расположения точек экстремумов и диапазон масштабов, где данные точки находятся с малой погрешностью.

Первый сигнал,представленный на рис. 1, представляет собой простую синусоиду

По оси абсцисс – время в секундах, по оси ординат – амплитуда в милливольтах. Примеры выбора вейвлета неудачного для анализа локальных особенностей в сигнале представлены на рис. 1 ниже исходного сигнала. В заголовке графиков название вейвлета, по оси абсцисс – время в секундах, по оси ординат – масштаб в секундах. Обозначение 'sym', взятое из [3], значит симлеты, ортогональные вейвлеты с компактным носителем не имеющие аналитического вида, цифрой обозначается порядок этого вейвлета.

Видно, что для sym2, sym3,sym6, sym7 можно подобрать масштаб, на котором находятся экстремумы синусоиды, но так как структура вейвлет – спектра имеет наклон, то по мере изменении масштаба ошибка нахождения экстремумов будет увеличиваться. При использовании sym8, sym9 и sym16 вейвлет – спектры имеют нечеткие структуры ниже масштаба 0.1 сек., что затруднит нахождение экстремумов. Данный вывод был сделан при разборе вейвлет-коэффициентов на конкретных масштабах, в дальнейшем мы разберем этот разбор на примере более подходящего выбора.

1.jpg

Рис. 1. Примеры неудачного выбора вейвлета для определения экстремумов синусоиды

ПРИМЕРЫ ВЫБОРА ВЕЙВЛЕТА, ПОДХОДЯЩЕГО ДЛЯ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМОВ

Проанализировав наборы вейвлет – спектров синусоиды, построенных на основе разных вейвлет – функций, были выбраны следующие вейвлет – функции для дальнейшего рассмотрения их в качестве основного для анализа особенностей сигнала:

· 'Haar' – вейвлет Хаара

· 'bior1.3','bior1.5'– биортогональные сплайн вейвлеты, представляющий собой пару вейвлетов, по одной из которых ведется анализ сигнала, по другой – восстановление, цифрами обозначают порядки вейвлетов, задаются фильтрами;

· 'rbio3.1' – обратные биортогональные сплайн вейвлеты;

· 'gaus1', 'gaus2', 'gaus3', 'gaus4'- вейвлеты, основанные на дифференциале функции Гаусса, цифрой и m обозначен порядок

· 'cgau1'; 'cgau2'; 'cgau3' – комплексные вейвлеты Гаусса

· 'mexh' имеет вид

Их вейвлет – спектры имеют четкие вертикальные структуры, что позволит определить экстремумы синусоиды без ошибок на масштабах 0.005÷0.1 секунд или 0.005÷0.15 секунд в зависимости от вейвлет – функции.

Для выбора оптимальной вейвлет - функции рассмотрим на рис. 2 второй модельный сигнал, состоящей из суммы синусоид с частотами 1 и 2 Гц с амплитудами 100 и нормального шума по формуле

где ξ - шум с нормальным распределением и дисперсией σ2 = 1 .

На масштабах меньше 0.05 секунд вейвлет – спектров, построенных с помощью гауссовых вейвлетов больше первого порядка (gaus2 – gaus4 и cgau2 – cgau3), видны множества особенностей, говорящих о том, что они чувствительны к шумам с таким уровнем. И это делает их не подходящими для использования при анализе малоамплитудных сегментов сигнала, где отношение шум/сигнал будет больше.

2_.jpg

Рис. 2. Вейвлет – спектры суммы синусоид с шумом

Было предложено для дальнейшего исследования выбрать из остальных три простейших вейвлет – функции: вейвлет Хаара и два гауссовых вейвлета первого порядка, так как остальные вейвлет – функции не имеют явных преимуществ, но имеют более сложные аналитические виды и созданы для других целей [4].

Выбранные три вейвлет – функций были использованы для анализа вейвлет – спектров пульсограммы практически здорового человека (рис. 3.). Видно, что вейвлет – спектр с вейвлетом Хаара имеет вертикальную структуру, позволяющую определять структуру пульсового сигнала на бо льшем количестве масштабов. В то же время, на вейвлет – спектрах с вейвлетами gaus1 и cgau1 структуры визуально очень похожи и имеют нулевые значения непараллельные оси масштаба.

3.jpg

Рис. 3. Вейвлет – спектры пульсового сигнала

АНАЛИЗ ВЕЙВЛЕТ-КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ОТДЕЛЬНЫХ МАСШТАБАХ

На вейвлет - спектрах невозможно оценить точность нахождения и количество масштабов, на которых эти точки находятся с минимальной погрешностью, поэтому были проанализированы вейвлет - коэффициенты на отдельных масштабах.

Рассмотрим подробнее вейвлет – коэффициенты на единичной волне пульсового сигнала. На рис. 4 представлена единичная волна пульсового сигнала с графиками вейвлет-коэффициентов для вейвлета Хаара и двух вейвлетов Гаусса. Вейвлет-коэффициенты даны для десяти масштабов от 0.005 (линия 1) до 0.05 секунд (линия 10), и значения вейвлет-коэффициентов растут с их увеличением.

Видно, что точки экстремумов сигнала определяются нулевыми значениями вейвлет – коэффициентов, также как и на производной сигнала. Таким образом, можно определять точки экстремума на сигнале с помощью нулевых точек на разных масштабах вейвлет-спектра.

4.jpg

Рис. 4. Вейвлет – коэффициенты единичной волны пульсового сигнала на масштабах от 0.005(линия 1) до 0.05 секунд (линия 10) для вейвлета Хаара, вейвлета Гаусса и комплексного вейвлета Гаусса (сверху вниз).

На рис. 5 показаны графики вейвлет-коэффициентов для трех функций возле точки А - максимума пульсового сигнала t = 0.625 сек. Графики даны с точностью в один шаг дискретизации равного 0,005 сек. Видно, что при использовании функции Хаара нулевые точки вейвлет-коэффициентов, которые определяют точку экстремума пульсового сигнала, на всех десяти масштабах расположены возле точки А (t = 0.625 сек.) с точностью меньше одного шага дискретизации. В то время вейвлет-коэффициенты, найденные на основе функции Гаусса, имеют нулевые значения, отклоняющиеся от точки А (t = 0.625 сек.) при увеличении масштаба, что будет приводить к увеличению погрешности определения точки экстремума исходного сигнала.

5.jpg

Рис. 5. Вейвлет – коэффициенты на масштабах от 0.005 до 0.05 секунд для вейвлета Хаара, вейвлета Гаусса и комплексного вейвлета Гаусса (сверху вниз) в районе точки максимума t =0.625 сек.

Определив подходящую функцию, оценим погрешность нахождения точек A,B,C,D для всех вейвлетов. Для них имеет смысл оценивать погрешность нахождения точки экстремума с помощью нулевых вейвлет-коэффициентов, начиная с масштаба больше 0.005 сек., так как вид функции не позволяет оценивать первый масштаб. Для остальных девяти масштабов вычислим погрешность по формуле:

где m -количество масштабов, t - истинное положение точек экстремумов, bi - положение точек, найденных с помощью нулевых вейвлет-коэффициентов на масштабе i .

Таким образом, вычислим среднюю погрешность нахождения точек экстремумов на девяти масштабах по отдельности для каждой точки (A,B,C,D) и для каждого вейвлета, которые даны в таблице 1.

Таблица 1

Точка экстремума

погрешность

Δ в сек.

точка А

точка B

точка C

точка D

Вейвлет Хаара

0.001

0

0.001

0.002

Вейвлет Гаусса

0.007

0.008

0.008

0.001

Комплексный вейвлет Гаусса

0.001

0.004

0.004

0.002

Как видно из таблицы средняя погрешность для вейвлет Хаара меньше 0.005 сек. – одного шага дискретизации по времени, что говорит о достаточной корректности передачи положений точек экстремума с помощью нулевых вейвлет-коэффициентов на всех девяти масштабах вейвлет-образа. Для вейвлета Гаусса погрешность для точек A, B, Cбольше шага дискретизации, а для комплексного вейвлета Гаусса погрешность в точках B, C чуть меньше шага дискретизации. Такие погрешности не позволяют корректно определять точки экстремума даже при отсутствии шумов.

Таким образом, данное исследование позволяет выбрать вейвлет Хаара для анализа локальных особенностей пульсового сигнала, и использовать данное вейвлет – преобразование для нахождения информативных точек (экстремумов) пульсовой волны.

ВЫВОДЫ

В предложенной методике показывается алгоритм анализа непрерывных вейвлет-спектров с разными вейвлет-функциями с целью оценки их пригодности для поиска экстремумов. Важным моментом в данной методики является переход с визуального анализа трехмерных вейвлет-спектров к количественному анализу двухмерных вейвлет-коэффициентов на разных масштабах. Такой переход показывает, как работает вейвлет-анализ внутри трехмерных вейвлет-спектров (анализируемых в основном визуально) и позволяет автоматизировать анализ сигналов. Это же позволяет уже численно оценить точность нахождения экстремумов при использовании конкретного вейвлета. В результате показано, что в задаче поиска экстремумов сигнала с помощью непрерывного вейвлет-анализа наиболее точным является вейвлет Хаара.

Данную методику выбора базиса можно использовать в задачах, где возможна приемлемая количественная оценка точности работы непрерывного вейвлет-преобразования. Это позволит анализировать трехмерные вейвлет-спектры не только качественно (визуально), но и количественно.

Библиография
1.
Воробьёв В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / Воробьёв В.И., Грибунин В.Г.-СПб: ВУС, 1999.-145 с.
2.
Меркушева А.В. Классы преобразований нестационарного сигнала в информационно-измерительных системах. III. Время-масштабные (вейвлет-) преобразования для спектрально-временнóго анализа / Меркушева А.В. // Научное приборостроение.-2002.-Т. 12.-№ 3.-C. 68–82.
3.
Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории-к практике / Дьяконов В. П.-М.: СОЛОН-Р, 2002.-448 с.
4.
Астафьева Н. М. Вейвлет анализ: основы теории и примеры применения / Астафьева Н. М. // Успехи физических наук.-1996.-т. 166.-№ 11.-С. 1115-1180.
5.
Бороноев В.В. Особенности непрерывного вейвлет-преобразования пульсовых сигналов / Бороноев В.В., Гармаев Б.З., Лебединцева И.В. // Оптика атмосферы и океана.-2007.-Т.20.-№ 12.-С. 1142-1146.
6.
Бороноев В.В. Метод непрерывного вейвлет преобразования в задаче выделения информативных точек пульсового сигнала / Бороноев В.В., Гармаев Б.З. // Биомедицинские радиоэлектроника.-2009.-№ 3.-С. 44-49.
7.
Бороноев В.В. Особенности вейвлет-образов пульсовых сигналов при нарушении гемодинамики / Бороноев В.В., Гармаев Б.З. // Изв. ВУЗов. Физика.-2010.-Т. 53.-Вып. 9/3.-С. 192-193.
8.
Бороноев В.В. Исследование статистической модели информативных точек пульсовой волны / Бороноев В.В., Гармаев Б.З. // Вестник Бурятского государственного университета.-2012.-№ 3.-С. 217-219.
9.
Гармаев Б.З. Численное дифференцирование биомедицинских сигналов с помощью вейвлет-преобразования / Гармаев Б.З., Бороноев В.В. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал].-2017.-№2.-URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb17/9/text.pdf
References (transliterated)
1.
Vorob'ev V.I. Teoriya i praktika veivlet-preobrazovaniya / Vorob'ev V.I., Gribunin V.G.-SPb: VUS, 1999.-145 s.
2.
Merkusheva A.V. Klassy preobrazovanii nestatsionarnogo signala v informatsionno-izmeritel'nykh sistemakh. III. Vremya-masshtabnye (veivlet-) preobrazovaniya dlya spektral'no-vremennógo analiza / Merkusheva A.V. // Nauchnoe priborostroenie.-2002.-T. 12.-№ 3.-C. 68–82.
3.
D'yakonov V. P. Veivlety. Ot teorii-k praktike / D'yakonov V. P.-M.: SOLON-R, 2002.-448 s.
4.
Astaf'eva N. M. Veivlet analiz: osnovy teorii i primery primeneniya / Astaf'eva N. M. // Uspekhi fizicheskikh nauk.-1996.-t. 166.-№ 11.-S. 1115-1180.
5.
Boronoev V.V. Osobennosti nepreryvnogo veivlet-preobrazovaniya pul'sovykh signalov / Boronoev V.V., Garmaev B.Z., Lebedintseva I.V. // Optika atmosfery i okeana.-2007.-T.20.-№ 12.-S. 1142-1146.
6.
Boronoev V.V. Metod nepreryvnogo veivlet preobrazovaniya v zadache vydeleniya informativnykh tochek pul'sovogo signala / Boronoev V.V., Garmaev B.Z. // Biomeditsinskie radioelektronika.-2009.-№ 3.-S. 44-49.
7.
Boronoev V.V. Osobennosti veivlet-obrazov pul'sovykh signalov pri narushenii gemodinamiki / Boronoev V.V., Garmaev B.Z. // Izv. VUZov. Fizika.-2010.-T. 53.-Vyp. 9/3.-S. 192-193.
8.
Boronoev V.V. Issledovanie statisticheskoi modeli informativnykh tochek pul'sovoi volny / Boronoev V.V., Garmaev B.Z. // Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta.-2012.-№ 3.-S. 217-219.
9.
Garmaev B.Z. Chislennoe differentsirovanie biomeditsinskikh signalov s pomoshch'yu veivlet-preobrazovaniya / Garmaev B.Z., Boronoev V.V. // Zhurnal radioelektroniki [elektronnyi zhurnal].-2017.-№2.-URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb17/9/text.pdf