Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 1897,   статей на доработке: 302 отклонено статей: 805 
Библиотека
Статьи и журналы | Тарифы | Оплата | Ваш профиль

Вернуться к содержанию

Приёмы решения задач с кривыми второго порядка
Бурлов Владимир Васильевич

кандидат технических наук

профессор, ФГБОУ ВО «Пензенский государственный технологический университет»

Россия, Пензенская область, г. Пенза, ул. Гагарина, 1а

Burlov Vladimir Vasilevich

PhD in Technical Science

Professor of the Department of Applied Informatics, Penza State Technological University

Russia, Penzenskaya oblast', g. Penza, ul. Gagarina, 1a

vladimir-burlov@yandex.ru
Ремонтова Людмила Викторовна

доцент, ФБГОУ ВО «Пензенский государственный технологический университет»

440039, Россия, Пензенская область, г. Пенза, ул. Гагарина, 1а

Remontova Lyudmila Viktorovna

Associate Professor of Department of Applied Informatics, Penza State Technological University

440039, Russia, Penzenskaya oblast', g. Penza, ul. Gagarina, 1a

remontova@mail.ru
Косолапов Владимир Викторович

кандидат технических наук

доцент, ГБОУ ВО «Нижегородский государственный инженерно-экономический университет»

606340, Россия, Нижегородская область, г. Княгинино, ул. Агрохимиков, 11

Kosolapov Vladimir Viktorovich

PhD in Technical Science

Associate Professor of the Department of Information Systems and Technologies, Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics

606340, Russia, Nizhegorodskaya oblast', g. Knyaginino, ul. Agrokhimikov, 11, kv. 11

Vladimir.kosolapov@mail.ru
Косолапова Елена Валентиновна

старший преподаватель, ГБОУ ВО «Нижегородский государственный инженерно-экономический университет»

606340, Россия, Нижегородская область, г. Княгинино, ул. Агрохимиков, 11

Kosolapova Elena Valentinovna

senior lecturer of the Department of Technical and Biological Systems, Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics

606340, Russia, Nizhegorodskaya oblast', g. Knyaginino, ul. Agrokhimikov, 11

k-art-inka@ya.ru

Аннотация.

Предмет исследования. В представленной рукописи рассмотрены вопросы, связанные с применением аффинных преобразований при решении задач с кривыми второго порядка, а именно растяжения и сжатия относительно прямой, то есть преобразования окружности в эллипс и наоборот. Эллипс находит самое широкое применение в различных сферах благодаря изяществу формы и своим свойствам: в искусстве, дизайне, архитектуре, физике и технике, астрономии, его свойства описаны в художественной литературе. Построение эллипса может быть выполнено очень точно с помощью подручных средств (колышков, нити, перегибами круга, с помощью полоски бумаги), специальных приспособлений и современных вычислительных систем математического моделирования и САПР. Методы построения эллипса основаны на его свойствах, отчего зависит и его форма. Использование закономерностей аффинного преобразования позволит закрепить навыки применения свойств эллипса и решения задач по определению его основных параметров. Метод проведения работы. В статье представлены приемы преобразований, направленные на определение большой и малой осей эллипса, построения касательных к эллипсу и определения точек пересечения прямой с эллипсом.В результате проведенной работы получены алгоритмы решения задач, позволяющие, используя приём родственного преобразования, получить возможность определения точки пересечения прямой с поверхностями второго порядка (параболоида, однополостного гиперболоида) и усеченного конуса, а также определить оси эллипса, точки касания и пересечения прямой с эллипсом. Научная новизна. Предложен метод, позволяющий упростить решение конструкторских задач на пересечение поверхности второго порядка с прямой линией и с поверхностью второго порядка, что поспособствует повышению точности и адекватности их построения. Выводы. Раскрыты свойства и суть аффинного преобразования эллипса в окружность и наоборот. Продемонстрированы алгоритмы решения различных геометрических задач на основе применения родственных преобразований. Материалы работы имеют практическую значимость, так как существенно расширяют представления о способах решения различных задач с кривыми второго порядка.

Ключевые слова: перпендикулярные прямые, родственные точки, сопряженные диаметры, ось родства, эллипс, аффинное преобразование, окружность, касательная, кривые, пересечение

УДК:

514.18

DOI:

10.7256/2454-0714.2018.1.22664

Дата направления в редакцию:

10-05-2017


Дата рецензирования:

22-04-2017


Дата публикации:

21-03-2018


Abstract.

The presented article deals with the application of affine transformations in solving problems with second-order curves, namely, stretching and contraction with respect to a straight line, that is, transforming a circle into an ellipse and vice versa.Ellipse finds the widest application in various fields due to the grace of form and its properties: in art, design, architecture, physics and technology, astronomy, its properties are described in fiction. The construction of an ellipse can be done very accurately with the help of improvised tools (pegs, threads, kinks of the circle, using a strip of paper), special adaptations and modern computer systems of mathematical modeling and CAD. The methods of constructing an ellipse are based on its properties, which also determines its shape.Using the laws of affine transformation will help to strengthen the skills of applying the properties of an ellipse and solving problems in determining its basic parameters. Method of work. The article presents methods of transformations aimed at determining the large and small axes of an ellipse, constructing tangents to an ellipse, and determining the points of intersection of a straight line with an ellipse.As a result of the work, algorithms for solving problems have been obtained that allow the authors to determine the intersection point of a straight line with surfaces of the second order (paraboloid, hyperboloid of one sheet) and a truncated cone using the method of a related transformation. The authors also determine the axes of the ellipse, the points of tangency and the intersection of the line with the ellipse. Scientific novelty. A method is proposed that makes it possible to simplify the solution of design problems on the intersection of a second-order surface with a straight line and a second-order surface, which will contribute to an increase in the accuracy and adequacy of their construction.The properties and essence of the affine transformation of an ellipse into a circle are shown and vice versa. The algorithms for solving various geometric problems based on the application of related transformations are demonstrated. The materials of the work are of practical importance, since they significantly broaden the concept of how to solve various problems with second-order curves.

Keywords:

perpendicular straight lines, related points, conjugated diameters, axis of kinship, ellipse, affine transformation, circle, tangent, curves, intersection

Предмет, цель работы.

Развитие современных промышленных и технологических комплексов требует интенсивной и качественной подготовки научных и прикладных кадров технических специальностей, способных в сжатые сроки обеспечить создание новых технологий конструирования и проектирования, обеспечивающих выполнение поставленных производственных задач. Подготовка данных кадров выполняется на каждом образовательном этапе. Основополагающей дисциплиной, направленной на получение студентами навыков пространственного мышления, является начертательная геометрия [7, 8, 17]. Кроме того, данная графическая дисциплина, изучаемая во всех технических вузах страны, формирует у обучающихся такие качества как [18, 20]:

- пространственное (трехмерное) воображение;

- умение проецировать изображения пространственных фигур на плоскостях проекций;

- логическое мышление при решении графических задач на плоскости;

- четкое следование алгоритмам решения геометрических задач.

Современные подходы к графическим дисциплинам подразумевают активное применение компьютерных систем отвечающих предъявляемым требованиям [10]. Их применение позволяет значительно расширить возможности по усвоению материала обучаемыми и повысить уровень образования, в условиях дефицита учебного времени [1,2,3,16,19].

Обзор литературных источников свидетельствует о том, что в разных вузах страны выбирают свою, наиболее освоенную компьютерную графическую программу, принятую за основную в конкретном высшем учебном заведении [4, 5, 9, 11, 12, 13, 14, 15]. На конечный результат это не влияет, однако в условиях российского образования и сложившейся санкционной политики предпочтение следует уделять отечественному продукту, обеспечивающему надежное импортозамещение, например, графической программе КОМПАС–3D, которая целиком адаптирована под ГОСТ ЕСКД [6].

В дисциплинах "Геометрия", "Алгебра" и "Начертательная геометрия" подробно изучаются свойства и способы построения эллипсов. Однако мало кто из обучающихся задумывался об их широком применении в технике, космонавтике и других областях.

Стандартные средства построения эллипса в среде автоматического программирования Компас–3D позволяют создать лишь простые варианты эллипсов, когда известны величины большой и малой его осей.

Как правило при решении большинства сложных технических задач указанных параметров недостаточно, что приводит к поиску новых подходов, позволяющих определить искомый ответ.

Цель данной статьи раскрыть свойства и суть аффинного преобразования и продемонстрировать алгоритм решения различных геометрических задач на основе его применения.

Метод или методология проведения работы. Эллипс, как одна из кривых второго порядка, имеет бесчисленное множество сопряжённых диаметров. При этом только в одной паре сопряжённые диаметры взаимно перпендикулярны (ABCD ) (рис. 1, а). Эта пара диаметров является осями эллипса. Относительно осей эллипс обладает свойством симметрии. Если оси эллипса определены, то свойство симметрии упрощает определение точек эллипса при ручной технологии построения.

В родственном (аффинном) преобразовании окружности соответствует эллипс и наоборот. Родственное (аффинное) преобразование определяется осью родства x и парой родственных точек A и A 1 (рис. 1, б). Прямую АА1 , определяющую направление родства, называют линией связи родственных точек.

Рис. 1. Варианты отображения эллипса (а ) и его аффинное отображение (б )

В любом аффинном преобразовании можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, которым соответствуют также взаимно перпендикулярные прямые. Суть построений показана на рис. 1, б. Через середину отрезка АА1 , соединяющего родственные точки, проводим перпендикуляр к АА1 до пересечения его с осью родства x в точке Т . Проводим окружность с центром в точке Т и радиусом ТА (ТА1 ). Она пересечёт ось родства x в двойных точках 1 и 2 . Соединив найденные точки соответственно с А и А1 , получим при вершинах А и А1 прямые углы (90о). Найденные прямые определяют главные направления созданного родственного преобразования.

В родственном преобразовании окружности в эллипс любым двум взаимно перпендикулярным диаметрам окружности соответствует своя пара сопряжённых диметров эллипса.

Рис. 2. Схема аффинного преобразования окружности в эллипс

На рис. 2 задана ось родства x и пара соответственных точек О и О1 . Пусть О — центр эллипса, а О1 — центр окружности, родственной эллипсу. ОО1 — направление родства. Изобразим с центром О1 какую-либо окружность. Найдём большую AB и малую CD оси родственного ей эллипса с центром О . Для этого по аналогии с рис. 1, б, строим главные направления преобразования. Они определяют направления большой и малой оси эллипса. Вершины эллипса находим с помощью линий связи — А1А , С1С . Для вершин B и D линии связи не показаны.

Теперь зададим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра — K 1 L 1 и M 1 N 1 , при этом зададим M 1 N 1 x . Прямая M 1 N 1 пересекает ось соответствия x в двойной точке 3 . Через точку 3 и О проходит прямая, соответствующая прямой N 1 3 . Концы M и N сопряжённого диаметра эллипса находим с помощью линий связи (М1МО1О ). Так как K 1 L 1 x , то и KLx .

Выполним зеркальное (ортогональное) преобразование относительно x окружности с центром О1 в окружность с центром О2 . Получим новое родственное соответствие между окружностью с центром О2 и эллипсом с центром О . В полученном соответствии прямая ОО2 является направлением нового соответствия. Обратим внимание, что дуги 1–О1 и 1–О2 окружностей равны, поэтому вписанные в них углы (1–О–О1) и (1–О–О2) равны между собой. Следовательно, ось АВ эллипса является биссектрисой угла между направлениями родства О1О и О2О. Это свойство двух преобразований можно использовать для определения большой и малой оси эллипса, заданного двумя сопряжёнными диаметрами.

Результаты работы.

Пример 1. Эллипс задан сопряжёнными диаметрами KL и MN . Центр эллипса О — точка пересечения диаметров. Найти большую и малую оси эллипса.

Через конец М сопряжённого диаметра MN проводим ось родства x параллельно диаметру KL . Через М≡М1 проводим перпендикуляр к оси x и на нём от точки М1 задаём положение О1 из условия М1О1 =OL . Прямая ОО1 определяет направление родства между эллипсом и окружностью с центром О1 .

Чертим окружность с центром О1 и с радиусом О1М1 , равным размеру OL полуоси сопряженного диаметра эллипса. Зеркально относительно x отображаем точку О1 в точку О2 . Соединив О и О2 , получим направление родства между эллипсом и окружностью с центром О2 (окружность не показана).

Как следует из предыдущих рассуждений, одна ось эллипса (АВ ) должна лежать на биссектрисе угла между двумя направлениями родства, а вторая (CD ) — ей перпендикулярна. Строим биссектрису угла (О1–О–О2) . Перпендикулярно к ней проводим прямую, на которой должны находиться концы оси CD . Она пересекает ось x в двойной точке 1. Через 1 проводим в окружности диаметр окружности C 1 D 1 , а перпендикулярно к нему диаметр A 1 B 1 . Концы осей эллипса находим с помощью линий связи A 1 A , B 1 B , C 1 C , D 1 D .

Пример 2. Построить касательные к эллипсу, параллельные заданному направлению n . Эллипс задан своими осями АВ, С D и центром О (рис. 3, а).

Ось родства x проводим через вершину С эллипса параллельно оси АВ эллипса. Согласно рис. 3а центр О1 окружности, родственной эллипсу, находится на продолжении CD и на расстоянии ∣С1О1 ∣ =∣АВ/2 ∣.

Известно, что касательная к эллипсу, проведённая через конец одного из сопряжённых диаметров эллипса, будет параллельна второму сопряжённому диаметру эллипса (рис. 2). Используем это свойство на рис. 3, а. Через центр О эллипса проводим его диаметр параллельно заданной прямой n до пересечения с осью родства x в двойной точке 1 . Соединив 1 с О1 , получим в окружности диаметр, родственный 1 О . Затем в окружности проводим диаметр K 1 L 1 O 1 1 и удлиняем его до пересечения с осью родства x в двойной точке 2 . Соединив 2 с О , найдем диаметр KL эллипса, сопряжённый с О–1 . Проводим через K 1 и L 1 линии связи и получаем на сопряжённом диметре эллипса точки касания K и L . Через эти точки параллельно n проводим искомые касательные k и l .

Рис. 3. Пример построения касательных к эллипсу параллельных заданному направлению n

Пример 3. Заданы: эллипс осями AB и CD и точка Т вне кривой эллипса. Провести через точку Т касательные к эллипсу (рис.3, б).

По аналогии с примером 2 создаём родственное соответствие между эллипсом с центром О и окружностью с центром О1 . Ось родства x проходит через вершину В эллипса. Пользуясь родственным соответствием, находим точку Т1 , родственную точке Т .

Для этого проводим прямую ТО до пересечения её с осью x в двойной точке 1 . Соединив 1 с О1 , получим прямую, родственную прямой ОТ . С помощью линии связи, проведённой через Т , находим родственную ей точку Т1 . Через точку Т1 проводим две касательные к окружности. Для этого через середину S 1 отрезка О1Т1 проводим окружность с радиусом S 1 O 1 . Она пересечет окружность с центром О1 в точках K 1 и L 1 . Прямые T 1 K 1 и T 1 L 1 — касательные к окружности с центром в точке О1 . Этим точкам касания на окружности соответствуют точки касания K и L на эллипсе. Для их определения проводим прямые K 1 O 1 и O 1 L 1 до пересечения с осью x в двойных точках 2 и 3 . Им соответствуют прямые 2 О и 3 О . Через K 1 и L 1 проводим линии связи и находим точки K и L эллипса.

Соединив Т с K и T с L , получим искомое решение задачи.

Пример 4. Заданы: эллипс осями АВ и CD и прямая KL (рис. 4). Найти точки M и N пересечения этой прямой с эллипсом.

Задаём, как и в предыдущих примерах, родственное соответствие между эллипсом и окружностью О1В1 . ОО1 — направление родства (линия связи между родственными точками). Через центр О эллипса проводим прямую, параллельную KL , до пересечения с осью родства x в двойной точке 1 . Соединив 1 с О1 , найдём прямую, родственную О 1 . В родственном преобразовании параллельность прямых сохраняется. Поэтому находим точку 2 пересечения прямой KL с осью родства x и проводим через точку 2 прямую параллельно О1 1 . Эта прямая соответствует прямой KL . Точкам M 1 и N 1 окружности соответствуют точки M и N пересечения прямой KL c эллипсом. Точки M и N находим на KL с помощью линий связи, проходящих через M 1 и N 1 .

Рис. 4. Схема определения пересечения прямой KL с эллипсом

Результаты работы.

В работе раскрыта суть аффинного преобразования окружности в эллипс и наоборот, что упрощает решение ряда позиционных задач и повышает точность построения. Представлены алгоритмы решения различных геометрических задач с применением свойств родственных преобразований на примере кривой второго порядка эллипса. Продемонстрировано применение нового метода при нахождении большой и малой осей эллипса, построения касательных к эллипсу при различных условиях, а также нахождении общих точек при пересечении двух геометрических объектов.

Представленный в работе метериал позволит расширить ассортимент инструментов решения сложных конструкторских задач, как обучающимися так и профессорско-преподавательсуким составом. Даннаястатья будет интереснга читательской аудитории занимающейся проблемами вычислительных систем и программных методов.

Библиография
1.
Арциховская–Кузнецова Л. В. О головоломности в начертательной геометрии // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 3, С. 31–35.
2.
Бойков А. А. Компьютерные средства поддержки учебных курсов графических дисциплин // Геометрия и графика, 2013, Т. 1, № 2 (2), С. 29–30.
3.
Волошинов Д. В., Соломонов К. Н. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графически дисциплин // Геометрия и графика, 2013, Т. 1, № 2 (2), С. 10–13.
4.
Гирш А. Г. Мнимости в геометрии // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 2, С. 3–8.
5.
Дорохов, А. С. Компьютерное проектирование в системе AutoCAD / А. С. Дорохов. и др. — М. : Российский государственный аграрный университет — МСХА им. К.А. Тимирязева (Москва), 2016, 80 c.
6.
Дорохов, А. С. Выполнение чертежей с использованием системы «Компас–3D» / А. С. Дорохов. и др. — М. : Российский государственный аграрный университет — МСХА им. К.А. Тимирязева (Москва), 2016, 76 c.
7.
Иванов Г. С. Начертательная геометрия [Текст]: учеб. для вузов, М.: Машиностроение, 1995, 224 с., ил.
8.
Иванов Г. С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст]: учеб. Пособие, М.: Машиностроение,1998, 160 с.
9.
Компьютерная графика в начертательной геометрии [Текст]: учеб. Пособие / Л.А. Нестеренко [и др.]. — Пенза: Изд. Пензенского гос. технолог. ун–та, 2013, 151 с., ил.
10.
Козлова И. А., Славин Б. М., Харах М. М., Гусева Т. В. Построение линий пересечения некоторых сложных поверхностей // Геометрия и графика, 2015, Т. 3, № 2, С. 38–45.
11.
Короткий В. А., Хмарова Л. И. Начертательная геометрия на экране компьютера // Геометрия и графика, 2013, Т. 1, № 1, С. 32–34.
12.
Сальков Н. А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 3, С. 7–13.
13.
Сальков Н. А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Часть 1 // Геометрия и графика, 2015, Т. 3, № 1, С. 16–25.
14.
Сальков Н. А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Часть 2 // Геометрия и графика, 2015, Т. 3, № 2, С. 9–22.
15.
Серегин В. И., Иванов Г. С., Боровиков И. Ф., Сенченкова Л. С. Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике // Геометрия и графика, 2015, Т. 3, № 2, С. 23–28.
16.
Суфляева Н. Е. Современные аспекты преподавания графических дисциплин в технических вузах // Геометрия и графика, 2014, Т. 2, № 4, С. 28–33.
17.
Тактаров Н. Г. Справочник по высшей математике [Текст]: / Тактаров Н. Г. — М: Изд–во ЛИБРОКОМ, 2014, 880 с., ил.
18.
Фролов С. А. Начертательная геометрия [Текст]: учеб. для втузов / С.А. Фролов. — 3–е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 2008, 240 с., ил.
19.
Хейфец А. Л. Реорганизация курса начертательной геометрии как актуальная задача развития кафедр графики // Геометрия и графика, 2013, Т. 1. № 2 (2), С. 21–23.
20.
Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия [Текст]: учеб. для пед. вузов / Н. Ф. Четверухин. — 8–е изд. — М., «Просвещение», 1969. — 368с. с ил
References (transliterated)
1.
Artsikhovskaya–Kuznetsova L. V. O golovolomnosti v nachertatel'noi geometrii // Geometriya i grafika, 2014, T. 2, № 3, S. 31–35.
2.
Boikov A. A. Komp'yuternye sredstva podderzhki uchebnykh kursov graficheskikh distsiplin // Geometriya i grafika, 2013, T. 1, № 2 (2), S. 29–30.
3.
Voloshinov D. V., Solomonov K. N. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie kak perspektiva prepodavaniya graficheski distsiplin // Geometriya i grafika, 2013, T. 1, № 2 (2), S. 10–13.
4.
Girsh A. G. Mnimosti v geometrii // Geometriya i grafika, 2014, T. 2, № 2, S. 3–8.
5.
Dorokhov, A. S. Komp'yuternoe proektirovanie v sisteme AutoCAD / A. S. Dorokhov. i dr. — M. : Rossiiskii gosudarstvennyi agrarnyi universitet — MSKhA im. K.A. Timiryazeva (Moskva), 2016, 80 c.
6.
Dorokhov, A. S. Vypolnenie chertezhei s ispol'zovaniem sistemy «Kompas–3D» / A. S. Dorokhov. i dr. — M. : Rossiiskii gosudarstvennyi agrarnyi universitet — MSKhA im. K.A. Timiryazeva (Moskva), 2016, 76 c.
7.
Ivanov G. S. Nachertatel'naya geometriya [Tekst]: ucheb. dlya vuzov, M.: Mashinostroenie, 1995, 224 s., il.
8.
Ivanov G. S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noi geometrii [Tekst]: ucheb. Posobie, M.: Mashinostroenie,1998, 160 s.
9.
Komp'yuternaya grafika v nachertatel'noi geometrii [Tekst]: ucheb. Posobie / L.A. Nesterenko [i dr.]. — Penza: Izd. Penzenskogo gos. tekhnolog. un–ta, 2013, 151 s., il.
10.
Kozlova I. A., Slavin B. M., Kharakh M. M., Guseva T. V. Postroenie linii peresecheniya nekotorykh slozhnykh poverkhnostei // Geometriya i grafika, 2015, T. 3, № 2, S. 38–45.
11.
Korotkii V. A., Khmarova L. I. Nachertatel'naya geometriya na ekrane komp'yutera // Geometriya i grafika, 2013, T. 1, № 1, S. 32–34.
12.
Sal'kov N. A. Parametricheskaya geometriya v geometricheskom modelirovanii // Geometriya i grafika, 2014, T. 2, № 3, S. 7–13.
13.
Sal'kov N. A. Svoistva tsiklid Dyupena i ikh primenenie. Chast' 1 // Geometriya i grafika, 2015, T. 3, № 1, S. 16–25.
14.
Sal'kov N. A. Svoistva tsiklid Dyupena i ikh primenenie. Chast' 2 // Geometriya i grafika, 2015, T. 3, № 2, S. 9–22.
15.
Seregin V. I., Ivanov G. S., Borovikov I. F., Senchenkova L. S. Geometricheskie preobrazovaniya v nachertatel'noi geometrii i inzhenernoi grafike // Geometriya i grafika, 2015, T. 3, № 2, S. 23–28.
16.
Suflyaeva N. E. Sovremennye aspekty prepodavaniya graficheskikh distsiplin v tekhnicheskikh vuzakh // Geometriya i grafika, 2014, T. 2, № 4, S. 28–33.
17.
Taktarov N. G. Spravochnik po vysshei matematike [Tekst]: / Taktarov N. G. — M: Izd–vo LIBROKOM, 2014, 880 s., il.
18.
Frolov S. A. Nachertatel'naya geometriya [Tekst]: ucheb. dlya vtuzov / S.A. Frolov. — 3–e izd., pererab. i dop. — M.: Mashinostroenie, 2008, 240 s., il.
19.
Kheifets A. L. Reorganizatsiya kursa nachertatel'noi geometrii kak aktual'naya zadacha razvitiya kafedr grafiki // Geometriya i grafika, 2013, T. 1. № 2 (2), S. 21–23.
20.
Chetverukhin N. F. Proektivnaya geometriya [Tekst]: ucheb. dlya ped. vuzov / N. F. Chetverukhin. — 8–e izd. — M., «Prosveshchenie», 1969. — 368s. s il